Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2012 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se considera la función derivable

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} 1+\dfrac{a}{x-2} & \text{si } x<1 \\[10pt] a+\dfrac{b}{\sqrt{x}} & \text{si } x\geq 1\end{cases}

Calcula los valores de

a

b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad: } 1-a = a+b \;\Longrightarrow\; 2a+b = 1\;}

\boxed{\;\text{Derivadas: } -a = -\frac b2 \;\Longrightarrow\; b = 2a\;}

\boxed{\;4a = 1 \;\Longrightarrow\; a = \frac14, \quad b = \frac12\;}

\boxed{\;\text{Valor común: } f(1) = \frac34, \qquad f'(1) = -\frac14\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos condiciones de siempre en el punto de empalme

x=1

Continuidad: $\;f(1^{-}) = f(1^{+})$ .
Derivadas laterales iguales: $\;f'(1^{-}) = f'(1^{+})$ .

Sale un sistema lineal

2\times2

a

b

.

Cuidado con las dos derivadas:

\left(\frac{a}{x-2}\right)' = \frac{-a}{(x-2)^{2}} \qquad \left(\frac{b}{\sqrt x}\right)' = \bigl(b\,x^{-1/2}\bigr)' = -\frac{b}{2\,x^{3/2}}

Desarrollo

1) Continuidad en $x=1$ .

f(1^{-}) = 1+\frac{a}{1-2} = 1-a

f(1^{+}) = a+\frac{b}{\sqrt1} = a+b

1-a = a+b \;\Longrightarrow\; 2a+b = 1 \qquad \text{(primera ecuación)}

2) Las derivadas laterales.

x<1: \; f'(x) = \frac{-a}{(x-2)^{2}} \;\Longrightarrow\; f'(1^{-}) = \frac{-a}{(-1)^{2}} = -a

x>1: \; f'(x) = -\frac{b}{2\,x^{3/2}} \;\Longrightarrow\; f'(1^{+}) = -\frac{b}{2}

-a = -\frac b2 \;\Longrightarrow\; b = 2a \qquad \text{(segunda ecuación)}

Resolviendo el sistema. Sustituyendo

b = 2a

en la primera:

2a+2a = 4a = 1 \;\Longrightarrow\; a = \frac14 \;\Longrightarrow\; b = \frac12

a = \frac14, \qquad b = \frac12

Comprobaciones.

f(1^{-}) = 1-\frac14 = \frac34 \qquad f(1^{+}) = \frac14+\frac12 = \frac34 \;\checkmark

f'(1^{-}) = -\frac14 \qquad f'(1^{+}) = -\frac{1/2}{2} = -\frac14 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Derivable implica continua: hacen falta las dos ecuaciones. Con una sola no se puede despejar el par $(a,b)$ .

Escribe $\frac{b}{\sqrt x} = b\,x^{-1/2}$ antes de derivar: así la derivada $-\frac b2 x^{-3/2}$ sale limpia. Intentar derivarla "como cociente" es más propenso a errores.

Ojo con $(1-2)^{2} = 1$ (no $-1$ ): el cuadrado del denominador hace que $f'(1^{-}) = -a$ , y ese signo es el que empareja las dos ecuaciones.