Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2022 · Julio

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Calcula

\int_{3}^{8} \frac{1}{\sqrt{1 + x} - 1}\,dx

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{1 + x} - 1$ .)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int_{3}^{8}\frac{dx}{\sqrt{1+x}-1} = \int_{1}^{2}\left(2 + \frac{2}{t}\right)dt = 2 + 2\ln 2 \approx 3{,}39\;}

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Estrategia

El cambio que sugiere el enunciado está pensado para que el denominador se convierta en $t$ , sin más. A partir de ahí la integral se vuelve elemental.

Los dos puntos donde se pierden puntos en este ejercicio son siempre los mismos:

Calcular bien $dx$ en función de $dt$ (hay que despejar $x$ y derivar).
Cambiar también los límites de integración. Si se cambian, no hay que deshacer el cambio al final; si no se cambian, hay que deshacerlo. Lo que no se puede es mezclar las dos cosas.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt{1+x} - 1 \;\Longrightarrow\; t + 1 = \sqrt{1+x} \;\Longrightarrow\; (t+1)^{2} = 1 + x

x = (t+1)^{2} - 1 = t^{2} + 2t \;\Longrightarrow\; dx = (2t + 2)\,dt

Nuevos límites.

Para $x = 3$ : $\;t = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$
Para $x = 8$ : $\;t = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2$

La integral transformada.

\int_{3}^{8} \frac{dx}{\sqrt{1+x} - 1} = \int_{1}^{2} \frac{2t + 2}{t}\,dt = \int_{1}^{2}\left(2 + \frac{2}{t}\right)dt

(La división es inmediata: $\dfrac{2t+2}{t} = \dfrac{2t}{t} + \dfrac{2}{t}$ .)

Cálculo.

\int_{1}^{2}\left(2 + \frac{2}{t}\right)dt = \Bigl[2t + 2\ln|t|\Bigr]_{1}^{2} = \bigl(4 + 2\ln 2\bigr) - \bigl(2 + 2\ln 1\bigr) = 2 + 2\ln 2

Valor numérico.

2 + 2\ln 2 \approx 2 + 1{,}386 = 3{,}386

(Coherente: en $[3,8]$ el integrando va de $1$ (en $x=3$ ) a $0{,}5$ (en $x=8$ ), así que la integral debe estar entre $5\cdot 0{,}5 = 2{,}5$ y $5\cdot 1 = 5$ . El valor $3{,}39$ encaja.)

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Consejo

Cuando cambias de variable en una integral definida, cambia también los límites y olvídate de deshacer el cambio: es más rápido y más seguro. El fallo típico es calcular la primitiva en $t$ , evaluarla entre $3$ y $8$ (los límites viejos) y dar un número que no tiene nada que ver.

Y no te saltes el $dx$ . De $x = t^{2}+2t$ sale $dx = (2t+2)\,dt$ ; ese factor es justamente el que cancela el denominador y hace que la integral sea inmediata. Sin él te queda $\int \frac{dt}{t}$ y el resultado es otro.