Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea

g : (0,+\infty)\to\mathbb{R}

la función definida por

g(x) = \frac{1}{x+\sqrt{x}}

Determina la primitiva de

g

cuya gráfica pasa por el punto

P(1,0)

. (Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $t = \sqrt{x}$ .)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \sqrt x: \quad x = t^{2}, \ dx = 2t\,dt, \ x+\sqrt x = t\,(t+1)\;}

\boxed{\;\int\frac{2t\,dt}{t(t+1)} = \int\frac{2\,dt}{t+1} = 2\ln(t+1)\;}

\boxed{\;G(x) = 2\ln\bigl(\sqrt x+1\bigr)+K; \qquad G(1) = 2\ln2+K = 0 \Rightarrow K = -2\ln2\;}

\boxed{\;G(x) = 2\ln\bigl(\sqrt x+1\bigr)-2\ln2 = 2\ln\frac{\sqrt x+1}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cambio de variable irracional, con la sugerencia dada:

t = \sqrt{x} \;\Longrightarrow\; x = t^{2}, \quad dx = 2t\,dt

Y el denominador se factoriza limpiamente:

x+\sqrt x = t^{2}+t = t\,(t+1)

Tras sustituir, el

t

del

dx

cancela el

t

del denominador y queda una integral inmediata (un logaritmo), sin necesidad de fracciones simples.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt x \;\;(t>0) \;\Longrightarrow\; x = t^{2}, \qquad dx = 2t\,dt

Sustituyendo.

\int\frac{dx}{x+\sqrt x} = \int\frac{2t\,dt}{t^{2}+t} = \int\frac{2t\,dt}{t\,(t+1)} = \int\frac{2\,dt}{t+1}

Integrando.

\int\frac{2\,dt}{t+1} = 2\ln\lvert t+1\rvert

Deshaciendo el cambio. Como

t = \sqrt x>0

, también

t+1>0

G(x) = 2\ln\bigl(\sqrt x+1\bigr)+K

Comprobación (derivando). Con

\bigl(\sqrt x\bigr)' = \dfrac{1}{2\sqrt x}

G'(x) = 2\cdot\frac{\frac{1}{2\sqrt x}}{\sqrt x+1} = \frac{1}{\sqrt x\,\bigl(\sqrt x+1\bigr)} = \frac{1}{x+\sqrt x} \;\checkmark

La condición del punto $P(1,0)$ .

G(1) = 2\ln 2+K = 0 \;\Longrightarrow\; K = -2\ln 2

G(x) = 2\ln\bigl(\sqrt x+1\bigr)-2\ln 2 = 2\ln\frac{\sqrt x+1}{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El truco es factorizar $t^{2}+t = t(t+1)$ : ese $t$ se cancela con el del $dx = 2t\,dt$ y la integral queda inmediata. Sin factorizar, uno se lanza a fracciones simples innecesariamente.

Como $t = \sqrt x>0$ , el argumento del logaritmo es siempre positivo y se puede quitar el valor absoluto. Conviene decirlo explícitamente.

Junta la constante en el logaritmo si puedes: $2\ln(\sqrt x+1)-2\ln2 = 2\ln\frac{\sqrt x+1}{2}$ . Es la misma función, pero más compacta y fácil de comprobar en $x=1$ .