Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea la función

f

definida por

f(x) = \dfrac{2}{x^{2}-1}

para

x\neq-1

x\neq1

.

a) [1,25 puntos] Halla una primitiva de

f

.

b) [1,25 puntos] Calcula el valor de

k

para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de

f

en el intervalo

[2,k]

sea

\ln(2)

, donde

\ln

denota el logaritmo neperiano.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{2}{x^{2}-1} = \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\;}

\boxed{\;\text{a) } F(x) = \ln\lvert x-1\rvert-\ln\lvert x+1\rvert = \ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert\;}

\boxed{\;\text{b) } A(k) = \ln\frac{k-1}{k+1}-\ln\frac13 = \ln\frac{3(k-1)}{k+1}\;}

\boxed{\;\frac{3(k-1)}{k+1} = 2 \;\Longrightarrow\; k = 5\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Integral racional con dos raíces reales simples: $x^{2}-1 = (x-1)(x+1)$ . Descomposición en fracciones simples inmediata.
b) Problema inverso: se calcula el área en función de $k$ y se despeja. En $[2,k]$ con $k>2$ la función es positiva (el denominador $x^{2}-1>0$ para $x>1$ ), así que el área es directamente la integral.

Conviene juntar los dos logaritmos en uno solo antes de despejar.

Desarrollo

a) Fracciones simples.

\frac{2}{x^{2}-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1} \;\Longrightarrow\; 2 = A(x+1)+B(x-1)

x = 1: \quad 2 = 2A \;\Longrightarrow\; A = 1 \qquad x = -1: \quad 2 = -2B \;\Longrightarrow\; B = -1

f(x) = \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}

La primitiva.

F(x) = \ln\lvert x-1\rvert-\ln\lvert x+1\rvert = \ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert

Comprobación.

F'(x) = \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} = \frac{(x+1)-(x-1)}{x^{2}-1} = \frac{2}{x^{2}-1} \;\checkmark

b) El área en $[2,k]$ . Para

x>1

se tiene

x^{2}-1>0

, luego

f>0

y el área es la integral. Además

x-1>0

x+1>0

, así que sobran los valores absolutos:

A(k) = \int_{2}^{k}\frac{2}{x^{2}-1}\,dx = \left[\ln\frac{x-1}{x+1}\right]_{2}^{k} = \ln\frac{k-1}{k+1}-\ln\frac{1}{3}

= \ln\left(\frac{k-1}{k+1}\cdot 3\right) = \ln\frac{3\,(k-1)}{k+1}

Imponiendo $A(k) = \ln 2$ .

\frac{3\,(k-1)}{k+1} = 2 \;\Longrightarrow\; 3k-3 = 2k+2 \;\Longrightarrow\; k = 5

(Y $k = 5 > 2$ , así que el intervalo $[2,5]$ es válido y no contiene las asíntotas $x=\pm1$ .)

Comprobación.

A(5) = \ln\frac{3\cdot4}{6} = \ln 2 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En $[2,k]$ con $k>2$ la función es positiva, así que el área coincide con la integral (sin valor absoluto). Justificarlo es parte de la respuesta.

Junta los dos logaritmos en uno: $\ln\frac{k-1}{k+1}-\ln\frac13 = \ln\frac{3(k-1)}{k+1}$ . Así, al igualar a $\ln2$ , basta con igualar los argumentos y queda una ecuación de primer grado.

Comprueba que el $k$ obtenido cae fuera de las asíntotas $x=\pm1$ : si el intervalo las contuviera, la integral sería impropia y el planteamiento no valdría.