Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Junio
Enunciado
Ejercicio 6. Calcula el valor de a>0a > 0 para que el área comprendida entre la parábola y=3x2−2axy = 3x^{2} - 2ax y el eje de abscisas sea 44 unidades cuadradas.
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Resultado
  Cortes en x=0 y x=2a3;A=4a327  \boxed{\;\text{Cortes en } x = 0 \text{ y } x = \frac{2a}{3}; \qquad A = \frac{4a^{3}}{27}\;}  4a327=4  ⟹  a3=27  ⟹  a=3  \boxed{\;\frac{4a^{3}}{27} = 4 \;\Longrightarrow\; a^{3} = 27 \;\Longrightarrow\; a = 3\;}
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Estrategia

Ejercicio inverso: en vez de calcular un área, se impone su valor y se despeja el parámetro.

Los cortes con el eje OXOX salen de sacar factor común xx, y dependen de aa. Entre esas dos raíces la parábola (con las ramas hacia arriba) queda por debajo del eje, así que la integral saldrá negativa y hay que tomar valor absoluto.

El área resultará ser proporcional a a3a^{3}, de modo que la ecuación final es de tercer grado pero inmediata.
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Desarrollo

Cortes con el eje de abscisas.3x2−2ax=0  ⟹  x (3x−2a)=0  ⟹  x=0ox=2a33x^{2} - 2ax = 0 \;\Longrightarrow\; x\,(3x - 2a) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \quad \text{o} \quad x = \frac{2a}{3}Como a>0a > 0, la segunda raíz es positiva y el recinto está en [0,2a3]\left[0, \frac{2a}{3}\right].

Signo. La parábola tiene las ramas hacia arriba (coeficiente 3>03 > 0), así que entre las raíces es negativa. Por ejemplo, en x=a3x = \frac{a}{3}:3⋅a29−2a⋅a3=a23−2a23=−a23<03\cdot\frac{a^{2}}{9} - 2a\cdot\frac{a}{3} = \frac{a^{2}}{3} - \frac{2a^{2}}{3} = -\frac{a^{2}}{3} < 0La gráfica está por debajo del eje: el área es el valor absoluto de la integral.

Cálculo de la integral.∫02a/3(3x2−2ax)dx=[x3−a x2]02a/3\int_{0}^{2a/3}\bigl(3x^{2} - 2ax\bigr)dx = \Bigl[x^{3} - a\,x^{2}\Bigr]_{0}^{2a/3}=8a327−a⋅4a29=8a327−12a327=−4a327= \frac{8a^{3}}{27} - a\cdot\frac{4a^{2}}{9} = \frac{8a^{3}}{27} - \frac{12a^{3}}{27} = -\frac{4a^{3}}{27}Área.A=∣−4a327∣=4a327A = \left|-\frac{4a^{3}}{27}\right| = \frac{4a^{3}}{27}Ecuación.4a327=4  ⟹  a3=27  ⟹  a=3\frac{4a^{3}}{27} = 4 \;\Longrightarrow\; a^{3} = 27 \;\Longrightarrow\; a = 3(La raíz cúbica real es única y cumple a>0a > 0, como pedía el enunciado.)

Comprobación. Con a=3a = 3 la parábola es y=3x2−6xy = 3x^{2} - 6x, que corta al eje en x=0x = 0 y x=2x = 2:A=∣∫02(3x2−6x)dx∣=∣[x3−3x2]02∣=∣8−12∣=4✓A = \left|\int_{0}^{2}\bigl(3x^{2} - 6x\bigr)dx\right| = \Bigl|\bigl[x^{3} - 3x^{2}\bigr]_{0}^{2}\Bigr| = |8 - 12| = 4 \quad \checkmark
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Consejo

La parábola queda por debajo del eje entre sus dos raíces, así que la integral sale negativa. Un área nunca lo es: toma el valor absoluto. Si te olvidas, obtienes a3=−27a^{3} = -27 y concluyes que no hay solución con a>0a>0, que es justo lo contrario.

No sustituyas un valor numérico de aa antes de tiempo: los límites de integración dependen del parámetro, y hay que integrar con 2a3\frac{2a}{3} arriba para obtener el área en función de aa. Ese es el planteamiento que se está evaluando.
Paso 1 de 3
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