Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2025 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque con optatividad 1). Sean las funciones

f : (-1,0)\cup(0,1) \to \mathbb{R}

g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definidas por

f(x) = \ln\left(\frac{x^{2}}{e}\right) \qquad\text{y}\qquad g(x) = x^{3} + 2

a) [1,5 puntos] Calcula

a \neq 0

de forma que en el punto

\bigl(a, f(a)\bigr)

la recta normal a la gráfica de la función

f

sea paralela a la recta tangente a la gráfica de

g

en el punto

\bigl(a, g(a)\bigr)

.

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = -\frac{1}{6}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{decreciente en } (-1,0), \qquad \text{creciente en } (0,1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Antes de derivar, conviene simplificar $f$ con las propiedades del logaritmo:

\ln\left(\frac{x^{2}}{e}\right) = \ln(x^{2}) - \ln(e) = 2\ln|x| - 1

. Así la derivada sale de una línea y sirve para los dos apartados.

La condición de a) es "pendiente de la normal a

f

= pendiente de la tangente a

g

", es decir

-\frac{1}{f'(a)} = g'(a)

De ahí sale una ecuación en

a

, cuya raíz

a=0

hay que descartar (el enunciado lo pide y, además,

0

no está en el dominio de

f

Desarrollo

Simplificación y derivada de $f$ . Para

x \neq 0

f(x) = \ln\left(\frac{x^{2}}{e}\right) = \ln\bigl(x^{2}\bigr) - \ln(e) = 2\ln|x| - 1

f'(x) = \frac{2}{x}

(También sale directo por la regla de la cadena: $f'(x) = \frac{1}{x^{2}/e}\cdot\frac{2x}{e} = \frac{2}{x}$ .)

Y para

g

g'(x) = 3x^{2}

a) Imponer el paralelismo. La pendiente de la recta normal a

f

x=a

es la opuesta de la inversa de

f'(a)

m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)} = -\frac{1}{\ \frac{2}{a}\ } = -\frac{a}{2}

La pendiente de la recta tangente a

g

x=a

m_{\text{tangente}} = g'(a) = 3a^{2}

. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente:

-\frac{a}{2} = 3a^{2} \;\Longrightarrow\; -a = 6a^{2} \;\Longrightarrow\; 6a^{2} + a = 0 \;\Longrightarrow\; a\,(6a + 1) = 0

a = 0 \ (\text{descartado}) \qquad\text{o}\qquad a = -\frac{1}{6}

Como

-\frac{1}{6} \in (-1,0)

, pertenece al dominio de

f

y es válido:

a = -\frac{1}{6}

Comprobación:

f'\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{2}{-1/6} = -12

, luego la normal tiene pendiente

-\frac{1}{-12} = \frac{1}{12}

; y

g'\left(-\frac{1}{6}\right) = 3\cdot\frac{1}{36} = \frac{1}{12}

. Coinciden ✓.

b) Crecimiento y decrecimiento de $f$ . El signo de

f'(x) = \dfrac{2}{x}

es el de

x

\begin{array}{c|c|c} x & (-1,\ 0) & (0,\ 1) \\ \hline f'(x) = \frac{2}{x} & - & + \\ \hline f(x) & \text{decreciente} & \text{creciente} \end{array}

Por tanto

f

es decreciente en $(-1,0)$ y creciente en $(0,1)$ . No hay extremos relativos, porque

f'

nunca se anula y

x=0

está excluido del dominio (allí

f

tiene, de hecho, una asíntota vertical:

\lim_{x\to 0} f(x) = -\infty

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Consejo

Pendiente de la normal $= -\frac{1}{f'(a)}$ , no $f'(a)$ ni $-f'(a)$ . Aquí es lo único que distingue el ejercicio de un paralelismo trivial, y confundirlo lleva a la ecuación $\frac{2}{a} = 3a^{2}$ , cuya solución no tiene nada que ver.

Simplifica el logaritmo antes de derivar: con $f(x) = 2\ln|x| - 1$ la derivada es inmediata. Y no olvides descartar $a=0$ : además de excluirlo el enunciado, ahí $f$ ni siquiera existe.