Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Determina la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

tal que

f''(x) = x\,e^{x}

, cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tiene un extremo relativo en

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \int x\,e^{x}dx = (x-1)e^{x} + C_{1}; \qquad f'(1) = 0 \;\Longrightarrow\; C_{1} = 0\;}

\boxed{\;f(x) = \int (x-1)e^{x}dx = (x-2)e^{x} + C_{2}; \qquad f(0) = 0 \;\Longrightarrow\; C_{2} = 2\;}

\boxed{\;f(x) = (x-2)\,e^{x} + 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se conoce la segunda derivada, así que hay que integrar dos veces y aparecen dos constantes. Los dos datos que las fijan son:

Extremo relativo en $x=1$ $\Longrightarrow$ $f'(1) = 0$ (fija la constante de la primera integración).
La gráfica pasa por el origen $\Longrightarrow$ $f(0) = 0$ (fija la segunda).

Hay que imponerlas en ese orden. Las dos integrales son del tipo

\int(\text{polinomio})\,e^{x}dx

, que se hacen por partes y dan resultados muy regulares.

Desarrollo

Primera integración. Por partes, con

u = x

dv = e^{x}dx

\int x\,e^{x}dx = x\,e^{x} - \int e^{x}dx = x\,e^{x} - e^{x} = (x-1)\,e^{x}

f'(x) = (x-1)\,e^{x} + C_{1}

Primera constante:

f'(1) = 0

f'(1) = (1-1)\,e^{1} + C_{1} = 0 + C_{1} = 0 \;\Longrightarrow\; C_{1} = 0

f'(x) = (x-1)\,e^{x}

Segunda integración. De nuevo por partes, con

u = x-1

dv = e^{x}dx

\int (x-1)\,e^{x}dx = (x-1)\,e^{x} - \int e^{x}dx = (x-1)e^{x} - e^{x} = (x-2)\,e^{x}

f(x) = (x-2)\,e^{x} + C_{2}

Segunda constante:

f(0) = 0

f(0) = (0-2)\,e^{0} + C_{2} = -2 + C_{2} = 0 \;\Longrightarrow\; C_{2} = 2

f(x) = (x-2)\,e^{x} + 2

Comprobaciones.

f(0) = -2 + 2 = 0 \quad \checkmark

f'(x) = e^{x} + (x-2)e^{x} = (x-1)e^{x} \;\Longrightarrow\; f'(1) = 0 \quad \checkmark

f''(x) = e^{x} + (x-1)e^{x} = x\,e^{x} \quad \checkmark

(Además $f''(1) = e > 0$ , así que en $x=1$ hay un mínimo relativo, de valor $f(1) = -e + 2 \approx -0{,}718$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Dos integraciones $\Rightarrow$ dos constantes, y hay que imponerlas en orden: primero la condición sobre $f'$ y luego la de $f$ . Si arrastras $C_{1}$ hasta el final, la segunda integral se complica innecesariamente.

Aprovecha el patrón de $\int P(x)e^{x}dx$ : el resultado es $\bigl(P(x) - P'(x) + \ldots\bigr)e^{x}$ , y con polinomios de grado $1$ cada integración solo baja el término independiente en una unidad: $x\to x-1\to x-2$ . Reconocerlo hace la segunda integral inmediata.

Cuidado con el $C_{2}$ : aunque $C_{1}$ salga $0$ , la segunda constante no es $0$ . Sale $2$ , y es lo que hace que la gráfica pase por el origen.