Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2021 · Julio

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Calcula

a

b

sabiendo que

\lim_{x \to 0} \frac{a\bigl(1 - \cos(x)\bigr) + b\operatorname{sen}(x) - 2\bigl(e^{x} - 1\bigr)}{x^{2}} = 7

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Resultado

\boxed{\;N(x) = (b-2)\,x + \left(\tfrac{a}{2}-1\right)x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)\;}

\boxed{\;b = 2 \quad \text{(para que el límite sea finito)}, \qquad a = 16 \quad \text{(para que valga 7)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos incógnitas y, aparentemente, una sola ecuación. La segunda está escondida en la palabra límite: para que el cociente tenga límite finito con denominador

x^{2}

, el numerador tiene que ser un infinitésimo de orden

\geq 2

, es decir, su coeficiente de $x$ debe anularse. Esa condición despeja

b

.

Después, el coeficiente de

x^{2}

da el valor del límite y con él sale

a

.

Los tres desarrollos que hacen falta son los de siempre; basta llegar hasta el orden

2

, porque el resto va dentro del

O(x^{3})

y no influye.

Desarrollo

Desarrollos en torno a $x = 0$ .

1 - \cos(x) = \frac{x^{2}}{2} + O\!\left(x^{4}\right)

\operatorname{sen}(x) = x + O\!\left(x^{3}\right)

e^{x} - 1 = x + \frac{x^{2}}{2} + O\!\left(x^{3}\right)

Numerador.

N(x) = a\cdot\frac{x^{2}}{2} + b\,x - 2\left(x + \frac{x^{2}}{2}\right) + O\!\left(x^{3}\right)

N(x) = (b - 2)\,x + \left(\frac{a}{2} - 1\right)x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

Primera condición: que el límite sea finito. Si

b \neq 2

, el numerador sería de orden

1

y el cociente se comportaría como

\dfrac{(b-2)x}{x^{2}} = \dfrac{b-2}{x} \to \pm\infty

. Para que exista límite finito:

b = 2

Segunda condición: el valor del límite. Con

b = 2

\lim_{x\to 0}\frac{\left(\frac{a}{2} - 1\right)x^{2} + O(x^{3})}{x^{2}} = \frac{a}{2} - 1

\frac{a}{2} - 1 = 7 \;\Longrightarrow\; \frac{a}{2} = 8 \;\Longrightarrow\; a = 16

Comprobación con L'Hôpital. Con

a = 16

b = 2

, el límite es

\lim_{x\to 0}\frac{16\,(1 - \cos x) + 2\operatorname{sen} x - 2\,(e^{x} - 1)}{x^{2}}

Numerador y denominador se anulan en

0

. Primera aplicación:

\lim_{x\to 0}\frac{16\operatorname{sen} x + 2\cos x - 2e^{x}}{2x}

Sigue siendo

\frac{0}{0}

(numerador:

0 + 2 - 2 = 0

). Segunda aplicación:

\lim_{x\to 0}\frac{16\cos x - 2\operatorname{sen} x - 2e^{x}}{2} = \frac{16 - 0 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7 \quad \checkmark

(Un tanteo numérico lo confirma: para $x = 10^{-3}$ el cociente vale $\approx 6{,}9993$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con dos parámetros y un solo límite, la segunda ecuación es siempre la misma: "que el límite exista y sea finito". Compara el orden del numerador con el del denominador; si el numerador fuese de orden menor, el límite sería infinito, y esa imposibilidad es la que despeja el primer parámetro.

Cuidado con el signo del último término: es $-2(e^{x}-1)$ , así que aporta $-2x$ y $-x^{2}$ . Si te comes el $-x^{2}$ , el coeficiente cuadrático te queda $\frac{a}{2}$ en lugar de $\frac{a}{2}-1$ y obtienes $a = 14$ .