Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2022 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = e^{x}\operatorname{sen}(2x)

. Halla la primitiva de

f

cuya gráfica pase por el punto

(0, 0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int e^{x}\operatorname{sen}(2x)\,dx = \frac{e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(2x) - 2\cos(2x)\bigr)}{5} + C\;}

\boxed{\;F(x) = \frac{e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(2x) - 2\cos(2x)\bigr)}{5} + \frac{2}{5}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el caso clásico de integral cíclica: al integrar por partes un producto de exponencial por seno, vuelve a aparecer una integral del mismo tipo. La técnica consiste en aplicar partes dos veces hasta reencontrar la integral original y entonces despejarla como si fuera una incógnita.

Dos avisos:

Hay que ser coherente en la elección de $u$ y $dv$ : si la primera vez tomas $dv = e^{x}dx$ , la segunda también. Si cambias de criterio a mitad, vuelves al punto de partida ( $I = I$ ) y no se despeja nada.
La regla de la cadena mete un factor $2$ cada vez que derivas o integras $\operatorname{sen}(2x)$ o $\cos(2x)$ . Ese $2$ es el responsable de que el denominador final sea $5$ y no $2$ .

Desarrollo

Llamamos $I$ a la integral.

I = \int e^{x}\operatorname{sen}(2x)\,dx

Primera integración por partes. Con

u = \operatorname{sen}(2x)

dv = e^{x}dx

du = 2\cos(2x)\,dx, \qquad v = e^{x}

I = e^{x}\operatorname{sen}(2x) - 2\int e^{x}\cos(2x)\,dx

Segunda integración por partes. Llamamos

J = \displaystyle\int e^{x}\cos(2x)\,dx

y tomamos otra vez

dv = e^{x}dx

, ahora con

u = \cos(2x)

du = -2\operatorname{sen}(2x)\,dx, \qquad v = e^{x}

J = e^{x}\cos(2x) + 2\int e^{x}\operatorname{sen}(2x)\,dx = e^{x}\cos(2x) + 2I

Sustitución y despeje. Llevando

J

a la primera expresión:

I = e^{x}\operatorname{sen}(2x) - 2\Bigl(e^{x}\cos(2x) + 2I\Bigr) = e^{x}\operatorname{sen}(2x) - 2e^{x}\cos(2x) - 4I

I + 4I = e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(2x) - 2\cos(2x)\bigr)

5I = e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(2x) - 2\cos(2x)\bigr) \;\Longrightarrow\; I = \frac{e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(2x) - 2\cos(2x)\bigr)}{5} + C

Determinación de $C$ . Imponemos que la primitiva pase por

(0,0)

F(0) = \frac{e^{0}\bigl(\operatorname{sen} 0 - 2\cos 0\bigr)}{5} + C = \frac{0 - 2}{5} + C = -\frac{2}{5} + C

-\frac{2}{5} + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = \frac{2}{5}

F(x) = \frac{e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(2x) - 2\cos(2x)\bigr)}{5} + \frac{2}{5}

Comprobación. Derivando el producto:

F'(x) = \frac{e^{x}\bigl(\operatorname{sen} 2x - 2\cos 2x\bigr) + e^{x}\bigl(2\cos 2x + 4\operatorname{sen} 2x\bigr)}{5} = \frac{e^{x}\cdot 5\operatorname{sen}(2x)}{5} = e^{x}\operatorname{sen}(2x) \quad \checkmark

Los términos en

\cos(2x)

se cancelan: esa cancelación es la señal de que el despeje está bien hecho.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En las integrales cíclicas, mantén el mismo criterio en las dos integraciones por partes. Si la primera vez pones $dv = e^{x}dx$ y la segunda $u = e^{x}$ , deshaces lo andado y llegas a la identidad trivial $I = I$ : no es que el método falle, es que has cambiado de camino a mitad.

Vigila los factores $2$ de la regla de la cadena. Con $\operatorname{sen}(2x)$ el denominador final es $1 + 2^{2} = 5$ ; si fuera $\operatorname{sen}(3x)$ sería $10$ . Si te sale $2$ en el denominador, seguro que te has comido algún $2$ por el camino.