Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Determina

k \neq 0

sabiendo que la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} 3 - k\,x^{2} & \text{si } x \leq 1 \\[6pt] \dfrac{2}{k\,x} & \text{si } x > 1\end{cases}

es derivable.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad: } 3 - k = \frac{2}{k} \;\Longrightarrow\; k^{2}-3k+2 = 0 \;\Longrightarrow\; k = 1,\, 2\;}

\boxed{\;\text{Derivabilidad: } -2k = -\frac{2}{k} \;\Longrightarrow\; k^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; k = 1,\, -1\;}

\boxed{\;\text{El único valor común es } k = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Solo hay una incógnita pero dos condiciones (continuidad y derivabilidad en

x=1

), así que el problema está sobredeterminado: cada condición dará varios valores candidatos de

k

y la respuesta es el valor que aparece en ambas listas.

Esa es la gracia del ejercicio: hay que resolver las dos ecuaciones por separado y luego intersecar las soluciones. Si no hubiera ningún valor común, la respuesta sería "no existe tal

k

Desarrollo

Continuidad en $x = 1$ .

f(1) = 3 - k, \qquad \lim_{x\to 1^{+}}\frac{2}{kx} = \frac{2}{k}

3 - k = \frac{2}{k} \;\Longrightarrow\; 3k - k^{2} = 2 \;\Longrightarrow\; k^{2} - 3k + 2 = 0

(k-1)(k-2) = 0 \;\Longrightarrow\; k = 1 \quad \text{o} \quad k = 2

Derivabilidad en $x = 1$ . Las derivadas de cada rama:

x < 1: \; f'(x) = -2k\,x \;\Longrightarrow\; f'(1^{-}) = -2k

x > 1: \; f(x) = \frac{2}{k}\,x^{-1} \;\Longrightarrow\; f'(x) = -\frac{2}{k\,x^{2}} \;\Longrightarrow\; f'(1^{+}) = -\frac{2}{k}

-2k = -\frac{2}{k} \;\Longrightarrow\; k^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; k = 1 \quad \text{o} \quad k = -1

Intersección de las dos condiciones.

\{1,\, 2\} \cap \{1,\, -1\} = \{1\}

k = 1

Comprobación. Con

k = 1

f(x) = \begin{cases} 3 - x^{2} & \text{si } x \leq 1 \\[4pt] \dfrac{2}{x} & \text{si } x > 1\end{cases}

f(1) = 2 \quad \text{y} \quad \lim_{x\to 1^{+}}\frac2x = 2 \quad \checkmark \qquad f'(1^{-}) = -2 \quad \text{y} \quad f'(1^{+}) = -2 \quad \checkmark

(Nótese que $k = 2$ daría continuidad, pero con pendientes $-4$ y $-1$ : la gráfica tendría un pico. Y $k=-1$ daría las mismas pendientes, pero un salto en el valor.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con una incógnita y dos condiciones, la respuesta es la intersección de las soluciones, no la unión. Resolver solo la continuidad te dejaría con dos candidatos, y solo la derivabilidad, con otros dos: hay que cruzarlos.

Cuidado al derivar $\dfrac{2}{kx}$ : es $\dfrac{2}{k}x^{-1}$ , cuya derivada es $-\dfrac{2}{k}x^{-2} = -\dfrac{2}{kx^{2}}$ . El $k$ está en el denominador y ahí se queda. Tratarlo como si multiplicase da $-2k$ en las dos ramas y una identidad trivial.

Cerrar con la comprobación explícita de los cuatro valores ( $f(1^{\pm})$ y $f'(1^{\pm})$ ) demuestra que el $k$ elegido cumple las dos condiciones, que es justo lo que pide el enunciado.