Derivadas y aplicaciones

La función a trozos. Para $x \in (-1,1)$ se tiene $1 - |x| > 0$, luego $f$ está bien definida y es positiva. Separando por el signo de $x$:$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{(1+x)^{2}} & \text{si } -1 < x < 0 \\[10pt] \dfrac{1}{(1-x)^{2}} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}$$a) Continuidad y derivabilidad.

En $(-1,0)$ y en $(0,1)$, $f$ es un cociente de funciones continuas y derivables con denominador no nulo: es continua y derivable en ambos intervalos abiertos.

Continuidad en $x=0$:$$\lim_{x\to 0^{-}} \frac{1}{(1+x)^{2}} = 1, \qquad \lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{(1-x)^{2}} = 1, \qquad f(0) = 1$$Coinciden, luego $f$ es continua en todo $(-1,1)$.

Derivabilidad en $x=0$: derivando cada rama (escritas como potencias, $(1+x)^{-2}$ y $(1-x)^{-2}$):$$x \in (-1,0): \quad f'(x) = -2(1+x)^{-3} = \frac{-2}{(1+x)^{3}} \;\Longrightarrow\; f'(0^{-}) = -2$$$$x \in (0,1): \quad f'(x) = -2(1-x)^{-3}\cdot(-1) = \frac{2}{(1-x)^{3}} \;\Longrightarrow\; f'(0^{+}) = 2$$Como $f'(0^{-}) = -2 \neq 2 = f'(0^{+})$, $f$ no es derivable en $x = 0$ (punto anguloso). Resumiendo: continua en $(-1,1)$, derivable en $(-1,0)\cup(0,1)$.

b) Extremos absolutos.

Monotonía. En $(-1,0)$ es $1+x > 0$, luego $f'(x) = \frac{-2}{(1+x)^{3}} < 0$: $f$ es decreciente. En $(0,1)$ es $1-x>0$, luego $f'(x) = \frac{2}{(1-x)^{3}} > 0$: $f$ es creciente.$$\begin{array}{c|c|c} x & (-1,\ 0) & (0,\ 1) \\ \hline f'(x) & - & + \\ \hline f(x) & \text{decreciente} & \text{creciente} \end{array}$$Mínimo. La función decrece hasta $x=0$ y crece a partir de ahí, luego en $x=0$ alcanza un mínimo absoluto, de valor$$f(0) = \frac{1}{(1-0)^{2}} = 1$$(El mínimo existe aunque $f$ no sea derivable ahí: se justifica con el cambio de signo de $f'$, no con $f'(0)=0$.)

Máximo. En los extremos del dominio,$$\lim_{x\to 1^{-}} \frac{1}{(1-x)^{2}} = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to -1^{+}} \frac{1}{(1+x)^{2}} = +\infty$$La función no está acotada superiormente, así que no tiene máximo absoluto. (Nótese que el teorema de Weierstrass no se puede invocar: el intervalo $(-1,1)$ es abierto.)