Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Considera la función f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x) = a\,x^{3} + b\,x^{2} + c\,x + d Calcula a, b, c y d sabiendo que f tiene un extremo relativo en (0,1) y su gráfica un punto de inflexión en (1,-1).

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2017 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = a\,x^{3} + b\,x^{2} + c\,x + d

Calcula

a

b

c

d

sabiendo que

f

tiene un extremo relativo en

(0,1)

y su gráfica un punto de inflexión en

(1,-1)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(0) = 1 \Rightarrow d = 1; \qquad f'(0) = 0 \Rightarrow c = 0\;}

\boxed{\;f''(1) = 6a + 2b = 0 \Rightarrow b = -3a; \qquad f(1) = -1 \Rightarrow a + b = -2\;}

\boxed{\;a = 1, \quad b = -3, \quad c = 0, \quad d = 1 \;\Longrightarrow\; f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cuatro incógnitas exigen cuatro ecuaciones, y los dos datos las aportan de dos en dos, porque cada punto dice dónde está y qué le pasa:

Extremo relativo en $(0,1)$ : $\;f(0) = 1\;$ (pasa por el punto) y $\;f'(0) = 0\;$ (es extremo).
Inflexión en $(1,-1)$ : $\;f(1) = -1\;$ (pasa por el punto) y $\;f''(1) = 0\;$ (es inflexión).

Además el sistema se resuelve casi en cascada, porque en

x=0

solo sobreviven

c

d

Desarrollo

Derivadas.

f'(x) = 3a\,x^{2} + 2b\,x + c, \qquad f''(x) = 6a\,x + 2b

Condición 1: $f(0) = 1$ .

d = 1

Condición 2: $f'(0) = 0$ .

c = 0

Condición 3: $f''(1) = 0$ .

6a + 2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -3a

Condición 4: $f(1) = -1$ .

a + b + c + d = -1 \;\Longrightarrow\; a + b + 0 + 1 = -1 \;\Longrightarrow\; a + b = -2

Sustituyendo

b = -3a

a - 3a = -2 \;\Longrightarrow\; -2a = -2 \;\Longrightarrow\; a = 1, \qquad b = -3

a = 1, \qquad b = -3, \qquad c = 0, \qquad d = 1

La función es

f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1

Comprobaciones.

f(0) = 1 \;\checkmark \qquad f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 \;\checkmark

f'(x) = 3x^{2} - 6x \;\Longrightarrow\; f'(0) = 0 \;\checkmark

f''(x) = 6x - 6 \;\Longrightarrow\; f''(1) = 0 \;\checkmark

(Y las condiciones son de verdad lo que dicen: $f''(0) = -6 < 0$ , así que en $x=0$ hay un máximo relativo; y $f'''(x) = 6 \neq 0$ , así que $x=1$ es una inflexión auténtica.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cada punto del enunciado aporta dos ecuaciones: la de pertenencia (el valor de $f$ ) y la de su naturaleza ( $f'=0$ para el extremo, $f''=0$ para la inflexión). Si solo usas una de cada, te faltan dos ecuaciones y el problema queda indeterminado.

Empieza por las condiciones en $x=0$ : ahí casi todo se anula y $c$ y $d$ salen de inmediato. Con esos dos ya conocidos, las otras dos condiciones dan un sistema $2\times 2$ trivial.

Comprobar al final que $f''(0) \neq 0$ y $f'''(1) \neq 0$ no es imprescindible, pero garantiza que el extremo y la inflexión existen de verdad y no son casos degenerados.