Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2021 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Halla

a

b

c

sabiendo que la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = a + b\operatorname{sen}(x) + c\operatorname{sen}(2x)

tiene un punto crítico en el punto de abscisa

x = \pi

y la recta

y = -\dfrac{1}{2}x + 3

es normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = b\cos x + 2c\cos 2x; \quad f'(\pi) = 0, \quad f'(0) = 2, \quad f(0) = 3\;}

\boxed{\;a = 3, \qquad b = 1, \qquad c = \frac{1}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas exigen tres ecuaciones, y hay que saber leerlas. El segundo dato, "la recta es normal a la gráfica en el punto de abscisa $x=0$ ", encierra dos condiciones:

La recta normal pasa por el punto de la gráfica, es decir, por $(0, f(0))$ .
Su pendiente es la opuesta de la inversa de $f'(0)$ .

Y el primer dato, el punto crítico, da la tercera:

f'(\pi) = 0

.

El detalle que decide el ejercicio: de la pendiente de la normal,

-\frac{1}{2}

, se deduce que la tangente tiene pendiente

2

, no

-\frac{1}{2}

Desarrollo

Derivada.

f'(x) = b\cos(x) + 2c\cos(2x)

Primera condición: punto crítico en $x = \pi$ .

f'(\pi) = b\cos\pi + 2c\cos 2\pi = -b + 2c = 0 \;\Longrightarrow\; b = 2c

Segunda condición: pendiente de la tangente en $x = 0$ . La normal tiene pendiente

-\frac{1}{2}

, luego la tangente tiene pendiente

m_{T} = -\frac{1}{m_{N}} = -\frac{1}{-1/2} = 2

f'(0) = b\cos 0 + 2c\cos 0 = b + 2c = 2

Sistema para $b$ y $c$ . Sustituyendo

b = 2c

2c + 2c = 2 \;\Longrightarrow\; 4c = 2 \;\Longrightarrow\; c = \frac{1}{2}, \qquad b = 1

Tercera condición: la normal pasa por $(0, f(0))$ . Evaluando la recta en

x = 0

y = -\frac{1}{2}\cdot 0 + 3 = 3

Luego

f(0) = 3

. Y como

f(0) = a + b\operatorname{sen}0 + c\operatorname{sen}0 = a

se obtiene

a = 3

Solución.

a = 3, \qquad b = 1, \qquad c = \frac{1}{2}

Comprobación. Con

f(x) = 3 + \operatorname{sen}(x) + \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)

f'(x) = \cos(x) + \cos(2x)

f'(\pi) = -1 + 1 = 0 \quad \checkmark \qquad f'(0) = 1 + 1 = 2 \quad \checkmark \qquad f(0) = 3 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"La recta $y = -\frac{1}{2}x + 3$ es normal a la gráfica en el punto de abscisa $x=0$ " son dos datos, no uno: la pendiente y el paso por el punto de la curva. Sin el segundo te faltaría una ecuación y no podrías despejar $a$ , que solo aparece en $f$ y nunca en $f'$ .

Y no uses $-\frac{1}{2}$ como pendiente de la tangente: es la de la normal. La tangente tiene pendiente $2$ . Ese cambio de signo e inversión es el error que más veces arruina este tipo de enunciado.