Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2021 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Sea

f

la función definida por

f(x) = \frac{a\,x^{2} + b}{a - x}

(para

x \neq a

).

a) [1,25 puntos] Halla

a

b

sabiendo que la gráfica de

f

pasa por el punto

(2,3)

y tiene una asíntota oblicua cuya pendiente vale

-4

.

b) [1,25 puntos] Para

a = 2

b = 3

, calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Asíntota oblicua } y = -a\,x - a^{2} \;\Longrightarrow\; a = 4, \quad b = -10\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f(1) = 5, \; f'(1) = 9; \qquad \text{Tangente: } y = 9x - 4; \qquad \text{Normal: } y = -\frac{1}{9}x + \frac{46}{9}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), la asíntota oblicua se obtiene dividiendo los polinomios. Ojo con el denominador: es

a - x

, con la

x

negativa, así que el cociente saldrá con signo cambiado respecto de lo habitual y la pendiente resultará ser

-a

.

Una advertencia importante: los valores de

a

b

del apartado a) y los del apartado b) son distintos. El enunciado no está encadenado: b) fija sus propios valores.

En b), derivada del cociente y las dos rectas de siempre.

Desarrollo

a) División de polinomios. Dividimos

a x^{2} + b

entre

-x + a

\frac{a x^{2} + b}{a - x} = -a\,x - a^{2} + \frac{a^{3} + b}{a - x}

(Comprobación: $(-x+a)(-ax - a^{2}) = ax^{2} + a^{2}x - a^{2}x - a^{3} = ax^{2} - a^{3}$ , y sumando el resto $a^{3}+b$ se recupera $ax^{2}+b$ .)

Como el resto tiende a

0

en el infinito, la asíntota oblicua es

y = -a\,x - a^{2}

Condición sobre la pendiente.

-a = -4 \;\Longrightarrow\; a = 4

Condición del paso por $(2,3)$ .

f(2) = \frac{4\cdot 4 + b}{4 - 2} = \frac{16 + b}{2} = 3 \;\Longrightarrow\; 16 + b = 6 \;\Longrightarrow\; b = -10

a = 4, \qquad b = -10

(Comprobación de que la asíntota existe: el resto es $a^{3}+b = 64 - 10 = 54 \neq 0$ , luego la fracción no se simplifica.)

b) Caso $a = 2$ , $b = 3$ . Ahora la función es

f(x) = \frac{2x^{2} + 3}{2 - x}

Ordenada en $x = 1$ .

f(1) = \frac{2 + 3}{2 - 1} = \frac{5}{1} = 5

Derivada. Por la regla del cociente, con

(2-x)' = -1

f'(x) = \frac{4x\,(2 - x) - \bigl(2x^{2}+3\bigr)\cdot(-1)}{(2-x)^{2}} = \frac{8x - 4x^{2} + 2x^{2} + 3}{(2-x)^{2}} = \frac{-2x^{2} + 8x + 3}{(2-x)^{2}}

f'(1) = \frac{-2 + 8 + 3}{1} = 9

Recta tangente.

y - 5 = 9\,(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = 9x - 4

Recta normal. Pendiente

-\dfrac{1}{9}

y - 5 = -\frac{1}{9}\,(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{9} + 5 = -\frac{1}{9}x + \frac{46}{9}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuidado con el signo del denominador: es $a - x$ , no $x - a$ . Al dividir, la pendiente de la asíntota sale $-a$ , no $a$ . Si te comes ese signo obtienes $a = -4$ y todo lo demás queda mal.

Y no arrastres los valores del apartado a) al b): el enunciado da explícitamente $a = 2$ y $b = 3$ para la segunda parte. Son dos funciones distintas, y usar $a=4$ , $b=-10$ en b) es un error de lectura que invalida el apartado entero.