Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2015 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta

80

euros/metro y la de los otros lados

10

euros/metro, halla las dimensiones del campo de área máxima que puede vallarse con

28\,800

euros.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Coste} = 80x+10x+20y = 90x+20y = 28\,800 \;\Longrightarrow\; y = 1440-\frac{9x}{2}\;}

\boxed{\;A(x) = 1440x-\frac{9x^{2}}{2}; \qquad A'(x) = 1440-9x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 160\;}

\boxed{\;160 \times 720 \ \text{m}, \qquad A_{\max} = 115\,200 \ \text{m}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aquí el problema está al revés de lo habitual: la restricción es el presupuesto y lo que se maximiza es el área.

Si

x

es el lado que da al camino e

y

el lado perpendicular, hay que vallar los cuatro lados, pero uno de ellos cuesta ocho veces más:

\text{Coste} = \underbrace{80x}_{\text{lado del camino}}+\underbrace{10x}_{\text{lado opuesto}}+\underbrace{10y+10y}_{\text{laterales}} = 90x+20y = 28\,800

Se despeja

y

, se sustituye en

A = xy

y se maximiza. La función objetivo saldrá una parábola invertida, así que el máximo es su vértice.

Desarrollo

Variables.

x

= lado paralelo al camino,

y

= lado perpendicular (en metros).

Restricción del presupuesto.

90x+20y = 28\,800 \;\Longrightarrow\; y = \frac{28\,800-90x}{20} = 1440-\frac{9x}{2}

Función a maximizar.

A(x) = x\,y = x\left(1440-\frac{9x}{2}\right) = 1440x-\frac{9x^{2}}{2}

Derivada y punto crítico.

A'(x) = 1440-9x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 160 \ \text{m}

Es máximo.

A''(x) = -9 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo}

(También se ve directamente: $A$ es una parábola con las ramas hacia abajo.)

El otro lado.

y = 1440-\frac{9\cdot160}{2} = 1440-720 = 720 \ \text{m}

\textbf{Campo de } 160 \ \text{m (junto al camino)} \times 720 \ \text{m}

El área máxima.

A = 160\cdot720 = 115\,200 \ \text{m}^{2}

Comprobación del presupuesto.

90(160)+20(720) = 14\,400+14\,400 = 28\,800 \ \text{euros} \quad \checkmark

(En el óptimo, el dinero se reparte a partes iguales entre los lados horizontales y los verticales: $14\,400$ euros cada grupo. Es el patrón típico de estos problemas.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuidado con el reparto de precios: el lado caro es uno solo, y el opuesto (paralelo a él) se paga a $10$ euros/metro. El coste total es $90x+20y$ , no $160x+20y$ ni $80x+30y$ .

Aquí la restricción es el dinero y el objetivo es el área. Es lo contrario del problema clásico; si los intercambias, obtendrás un mínimo que no existe.

Como $A(x)$ es una parábola con las ramas hacia abajo, el máximo es su vértice y puedes justificarlo sin derivar. Aun así, comprueba siempre que el presupuesto se agota exactamente.