Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2009 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] De entre todos los rectángulos cuya área mide

16\ \text{cm}^{2}

, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;xy = 16 \;\Longrightarrow\; y = \frac{16}{x}; \qquad d^{2}(x) = x^{2}+\frac{256}{x^{2}}\;}

\boxed{\;\bigl(d^{2}\bigr)' = 2x-\frac{512}{x^{3}} = 0 \Rightarrow x^{4} = 256 \Rightarrow x = 4\;}

\boxed{\;y = 4: \ \textbf{es un cuadrado de lado } 4\ \text{cm} \quad \bigl((d^{2})''>0\bigr)\;}

\boxed{\;d_{\min} = \sqrt{32} = 4\sqrt2 \approx 5{,}66 \ \text{cm}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Si los lados son

x

y

, la ligadura es el área:

x\,y = 16

y la diagonal, por Pitágoras, mide

\;d = \sqrt{x^{2}+y^{2}}

.

Truco esencial: minimizar

d

equivale a minimizar

d^{2}

(la raíz es creciente), y

d^{2}

es una función sin raíces, mucho más cómoda de derivar.

d^{2}(x) = x^{2}+\frac{256}{x^{2}}

Desarrollo

La ligadura y la función.

x\,y = 16 \;\Longrightarrow\; y = \frac{16}{x}, \qquad x>0

d^{2}(x) = x^{2}+y^{2} = x^{2}+\frac{256}{x^{2}}

Derivamos.

\bigl(d^{2}\bigr)'(x) = 2x-\frac{512}{x^{3}} = 0 \;\Longrightarrow\; 2x^{4} = 512 \;\Longrightarrow\; x^{4} = 256

x = 4 \qquad (x>0)

Es mínimo:

\bigl(d^{2}\bigr)''(x) = 2+\frac{1536}{x^{4}} > 0 \quad \text{para todo } x>0 \;\checkmark

Las dimensiones.

y = \frac{16}{4} = 4

\textbf{El rectángulo es un cuadrado de lado } 4\ \text{cm}

La diagonal.

d = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt2 \approx 5{,}66 \ \text{cm}

Comprobación del área:

\;4\cdot4 = 16\ \text{cm}^{2}

\;\checkmark

(Control de coherencia: de todos los rectángulos de área fija, el cuadrado es el de menor perímetro y el de menor diagonal.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Minimiza el cuadrado de la diagonal: tiene el mínimo en el mismo punto y evita derivar una raíz. Es el mismo truco que en los problemas de "punto más cercano".

Que la solución sea el cuadrado es el control de calidad: con el área fija, el cuadrado optimiza a la vez el perímetro y la diagonal. Si te salen lados distintos, revisa.

Indica el dominio $x>0$ : es lo que permite descartar las raíces negativas de $x^{4} = 256$ y garantiza que $\bigl(d^{2}\bigr)''>0$ .