Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2019 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función

C(t) = t\,e^{-t/2} \ \text{mg/ml}

siendo

t

el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo.

a) [2 puntos] Determina, si existe, el valor máximo absoluto de la función y en qué momento se alcanza.

b) [0,5 puntos] Sabiendo que la máxima concentración sin peligro para el paciente es

1

mg/ml, señala si en algún momento del tratamiento hay riesgo para el paciente.

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Resultado

\boxed{\;C'(t) = e^{-t/2}\left(1 - \tfrac{t}{2}\right) = 0 \;\Longrightarrow\; t = 2 \ \text{h}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Máximo absoluto } C(2) = \frac{2}{e} \approx 0{,}736 \ \text{mg/ml, a las 2 horas}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \frac{2}{e} < 1 \;\Longrightarrow\; \text{no hay riesgo en ningún momento}\;}

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Estrategia

Optimización con contexto real. Dos detalles importantes que lo distinguen de un ejercicio abstracto:

El dominio con sentido físico es $t \geq 0$ (horas transcurridas). No tiene sentido buscar extremos en los negativos.
Se pide el máximo absoluto, así que no basta con encontrar un máximo relativo: hay que comprobar el comportamiento en los bordes del dominio, es decir $C(0)$ y el límite cuando $t\to+\infty$ .

En b) basta comparar ese máximo con

1

: si el pico no llega, ningún otro instante llegará.

Desarrollo

a) Derivada.

C'(t) = 1\cdot e^{-t/2} + t\cdot\left(-\frac12\right)e^{-t/2} = e^{-t/2}\left(1 - \frac{t}{2}\right) = -\frac{(t-2)}{2}\,e^{-t/2}

Punto crítico. Como

e^{-t/2} > 0

siempre:

C'(t) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 1 - \frac{t}{2} = 0 \;\Longleftrightarrow\; t = 2 \ \text{horas}

Es máximo.

0 \leq t < 2 \Rightarrow C' > 0 \;(\text{crece}); \qquad t > 2 \Rightarrow C' < 0 \;(\text{decrece})

(Con la segunda derivada: $C''(2) = -\tfrac{1}{2}e^{-1} < 0$ , mismo veredicto.)

Es máximo absoluto. Comparamos con los extremos del dominio

[0, +\infty)

C(0) = 0, \qquad \lim_{t\to+\infty} t\,e^{-t/2} = 0

(La exponencial decreciente gana al factor lineal.) Como

C

crece hasta

t=2

y decrece después, y en los bordes vale

0

, el valor de

t=2

es el máximo absoluto:

C(2) = 2\,e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}736 \ \text{mg/ml}

b) ¿Hay riesgo? La concentración nunca supera su máximo absoluto:

C(t) \leq \frac{2}{e} \approx 0{,}736 < 1 \qquad \text{para todo } t \geq 0

\textbf{No hay riesgo en ningún momento del tratamiento.}

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Consejo

Máximo absoluto $\neq$ máximo relativo. Encontrar $t=2$ y comprobar que $C''<0$ solo demuestra que es relativo. Para que sea absoluto hay que mirar el dominio completo: aquí, $C(0)=0$ y $\lim_{t\to\infty}C(t) = 0$ . Ese límite es la parte que más se olvida.

Respeta el contexto: $t$ son horas, así que el dominio real es $[0,+\infty)$ y las unidades del resultado son mg/ml. Dar el máximo "en $t=2$ " sin decir "a las 2 horas y $0{,}736$ mg/ml" deja el problema a medias.

Y en b), la respuesta es una comparación, no un cálculo nuevo: como el máximo de toda la función está por debajo de $1$ , ningún instante puede alcanzar el umbral de peligro.