Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = x^{2}\cos(x)

. Determina la primitiva de

f

cuya gráfica pasa por el punto

(\pi,\,0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = x^{2},\ dv = \cos x\,dx: \quad \int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\mathrm{sen}\,x-2\int x\,\mathrm{sen}\,x\,dx\;}

\boxed{\;\int x\,\mathrm{sen}\,x\,dx = -x\cos x+\mathrm{sen}\,x\;}

\boxed{\;F(x) = x^{2}\mathrm{sen}\,x+2x\cos x-2\,\mathrm{sen}\,x+K\;}

\boxed{\;F(\pi) = -2\pi+K = 0 \Rightarrow K = 2\pi: \quad F(x) = x^{2}\mathrm{sen}\,x+2x\cos x-2\,\mathrm{sen}\,x+2\pi\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integración por partes dos veces: el polinomio va en

u

para que baje de grado en cada paso.

x^{2}\cos x \;\xrightarrow{\text{partes}}\; x\,\mathrm{sen}\,x \;\xrightarrow{\text{partes}}\; \text{inmediata}

Después se ajusta la constante con

F(\pi) = 0

, teniendo en cuenta que

\mathrm{sen}\,\pi = 0

\cos\pi = -1

Desarrollo

Primera integración por partes.

u = x^{2} \;\Rightarrow\; du = 2x\,dx \qquad dv = \cos x\,dx \;\Rightarrow\; v = \mathrm{sen}\,x

\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\,\mathrm{sen}\,x-2\int x\,\mathrm{sen}\,x\,dx

Segunda integración por partes (para

\int x\,\mathrm{sen}\,x\,dx

u = x \;\Rightarrow\; du = dx \qquad dv = \mathrm{sen}\,x\,dx \;\Rightarrow\; v = -\cos x

\int x\,\mathrm{sen}\,x\,dx = -x\cos x+\int\cos x\,dx = -x\cos x+\mathrm{sen}\,x

La familia de primitivas.

F(x) = x^{2}\,\mathrm{sen}\,x-2\bigl(-x\cos x+\mathrm{sen}\,x\bigr)+K = x^{2}\,\mathrm{sen}\,x+2x\cos x-2\,\mathrm{sen}\,x+K

Comprobación (derivando).

F'(x) = 2x\,\mathrm{sen}\,x+x^{2}\cos x+2\cos x-2x\,\mathrm{sen}\,x-2\cos x = x^{2}\cos x \;\checkmark

La condición del punto $(\pi,0)$ . Con

\mathrm{sen}\,\pi = 0

\cos\pi = -1

F(\pi) = \pi^{2}\cdot 0+2\pi\,(-1)-2\cdot 0+K = -2\pi+K = 0 \;\Longrightarrow\; K = 2\pi

F(x) = x^{2}\,\mathrm{sen}\,x+2x\cos x-2\,\mathrm{sen}\,x+2\pi

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Consejo

Con un polinomio de grado 2 por una trigonométrica hacen falta dos integraciones por partes, siempre con el polinomio en $u$ : así el grado baja de $2$ a $1$ y luego a $0$ .

Cuidado con el signo: $\int\mathrm{sen}\,x\,dx = -\cos x$ , y ese menos se combina con el $-2$ de delante para dar $+2x\cos x$ . Es donde más se falla.

Comprueba derivando antes de imponer la condición del punto: si $F' = f$ , el resto es aritmética. Y recuerda $\mathrm{sen}\,\pi = 0$ , $\cos\pi = -1$ .