Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2016 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\pi r^{2}h = 1000 \;\Longrightarrow\; h = \frac{1000}{\pi r^{2}}; \qquad S(r) = 2\pi r^{2} + \frac{2000}{r}\;}

\boxed{\;S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \ \text{cm}\;}

\boxed{\;h = 2r \approx 10{,}84 \ \text{cm} \quad (\text{altura} = \text{diámetro}); \qquad S_{\min}\approx 553{,}58 \ \text{cm}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El clásico "lata de refresco". Dos cuidados:

Unidades: $1$ litro $= 1000$ cm $^{3}$ , así que las dimensiones saldrán en centímetros.
Con tapa significa que hay dos círculos (base y tapa) más el lateral. Si fuese sin tapa, el área sería otra y el resultado también.

Restricción de volumen

\Rightarrow

se despeja

h

, se sustituye en el área y se minimiza en la variable

r

Desarrollo

Variables. Radio

r

y altura

h

(en cm), ambos positivos.

Restricción (volumen).

V = \pi r^{2} h = 1000 \;\Longrightarrow\; h = \frac{1000}{\pi r^{2}}

Función a minimizar (superficie de hojalata).

S = \underbrace{2\pi r^{2}}_{\text{base + tapa}} + \underbrace{2\pi r h}_{\text{lateral}}

En una sola variable.

S(r) = 2\pi r^{2} + 2\pi r\cdot\frac{1000}{\pi r^{2}} = 2\pi r^{2} + \frac{2000}{r}, \qquad r>0

Derivada y punto crítico.

S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; 4\pi r^{3} = 2000 \;\Longrightarrow\; r^{3} = \frac{500}{\pi}

r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \ \text{cm}

Es mínimo.

S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^{3}} > 0 \quad \text{para todo } r>0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

La altura.

h = \frac{1000}{\pi r^{2}} = \frac{1000}{\pi}\cdot\frac{1}{r^{2}}

Como

r^{3} = \dfrac{500}{\pi}

, se tiene

\dfrac{1000}{\pi} = 2r^{3}

, luego

h = \frac{2r^{3}}{r^{2}} = 2r \approx 10{,}84 \ \text{cm}

\textbf{La altura es igual al diámetro}

Hojalata empleada.

S = 2\pi r^{2} + \frac{2000}{r} \approx 553{,}58 \ \text{cm}^{2}

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Consejo

Pasa el litro a cm $^{3}$ antes de nada. Si trabajas en dm $^{3}$ el resultado es correcto pero en decímetros, y conviene decirlo explícitamente.

"Con tapa" $\Rightarrow$ $2\pi r^{2}$ . Sin tapa sería $\pi r^{2}$ y el óptimo cambiaría a $h = r$ . Lee esa palabra con atención.

El resultado $h = 2r$ (altura $=$ diámetro) es la firma de este problema: si te sale otra cosa, revisa la derivada. Y para justificar que es mínimo basta con $S''>0$ , que aquí es inmediato porque los dos sumandos son positivos.