Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2014 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Determina una función derivable

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

sabiendo que

f(1) = -1

y que

f'(x) = \begin{cases} x^{2}-2x & \text{si } x<0 \\[6pt] e^{x}-1 & \text{si } x\geq0\end{cases}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x\geq0: \ f(x) = e^{x}-x+C_{2}; \qquad f(1) = -1 \Rightarrow C_{2} = -e\;}

\boxed{\;x<0: \ f(x) = \frac{x^{3}}{3}-x^{2}+C_{1}; \qquad \text{continuidad en } 0 \Rightarrow C_{1} = 1-e\;}

\boxed{\;f(x) = \frac{x^{3}}{3}-x^{2}+1-e \ (x<0); \qquad f(x) = e^{x}-x-e \ (x\geq0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se integra cada trozo por separado, obteniendo dos constantes distintas

C_{1}

C_{2}

. Para fijarlas hay dos condiciones:

El dato $f(1) = -1$ , que cae en el segundo tramo y da $C_{2}$ .
La continuidad en $x=0$ (necesaria, porque $f$ es derivable), que relaciona $C_{1}$ con $C_{2}$ .

Conviene empezar por el tramo donde está el dato.

(La derivabilidad en $x=0$ se cumple sola: las dos expresiones de $f'$ valen $0$ ahí, así que las derivadas laterales coinciden.)

Desarrollo

Tramo $x\geq0$ .

f(x) = \int\bigl(e^{x}-1\bigr)dx = e^{x}-x+C_{2}

El dato $f(1) = -1$ (y

1>0

, así que usamos esta rama):

e-1+C_{2} = -1 \;\Longrightarrow\; C_{2} = -e

f(x) = e^{x}-x-e \qquad \text{para } x\geq0

Tramo $x<0$ .

f(x) = \int\bigl(x^{2}-2x\bigr)dx = \frac{x^{3}}{3}-x^{2}+C_{1}

Continuidad en $x=0$ . Los dos trozos deben empalmar:

f(0^{-}) = C_{1} \qquad f(0^{+}) = e^{0}-0-e = 1-e

C_{1} = 1-e

La función.

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}+1-e & \text{si } x<0 \\[10pt] e^{x}-x-e & \text{si } x\geq0\end{cases}

Comprobaciones.

f(1) = e-1-e = -1 \;\checkmark

f(0^{-}) = 1-e = f(0^{+}) \;\checkmark \quad (\text{continua})

f'(0^{-}) = 0^{2}-0 = 0 \qquad f'(0^{+}) = e^{0}-1 = 0 \;\checkmark \quad (\text{derivable})

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Dos trozos, dos constantes. Usar una sola $C$ para toda la función es el error central de este ejercicio: cada tramo se integra independientemente.

La condición que empalma los trozos es la continuidad, no la derivabilidad. La derivabilidad ya está garantizada por el enunciado (y se comprueba: $f'$ vale $0$ por los dos lados en $x=0$ ).

Empieza por el tramo que contiene el dato $f(1)=-1$ : así obtienes $C_{2}$ primero y luego $C_{1}$ con la continuidad. Cada ecuación tiene entonces una sola incógnita y no hay sistema que resolver.