Límites y continuidad

Paso 1: comprobar la indeterminación. Sustituyendo $x=0$:$$N(0) = \operatorname{sen}(0) - a\cdot 0 + 2 - 2\cos(0) = 0 - 0 + 2 - 2 = 0$$$$D(0) = e^{0} - 0\cdot\cos(0) - 1 = 1 - 0 - 1 = 0$$Hay indeterminación $\frac{0}{0}$ para cualquier valor de $a$. Como numerador y denominador son derivables, aplicamos la regla de L'Hôpital.

Paso 2: primera aplicación de L'Hôpital.$$N'(x) = \cos(x) - a + 2\operatorname{sen}(x)$$$$D'(x) = e^{x} - \bigl(\cos(x) - x\operatorname{sen}(x)\bigr) = e^{x} - \cos(x) + x\operatorname{sen}(x)$$Evaluando en $x=0$:$$N'(0) = 1 - a, \qquad D'(0) = 1 - 1 + 0 = 0$$Paso 3: imponer que el límite sea finito. Si $1 - a \neq 0$, el cociente $\frac{N'(x)}{D'(x)}$ tendría numerador tendiendo a $1-a \neq 0$ y denominador tendiendo a $0$: el límite sería infinito. Para que el límite pedido sea finito es necesario que$$1 - a = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{a = 1}$$Paso 4: segunda aplicación de L'Hôpital. Con $a = 1$ vuelve a haber indeterminación $\frac{0}{0}$, así que derivamos otra vez:$$N''(x) = -\operatorname{sen}(x) + 2\cos(x) \;\longrightarrow\; N''(0) = 0 + 2 = 2$$$$D''(x) = e^{x} + \operatorname{sen}(x) + \bigl(\operatorname{sen}(x) + x\cos(x)\bigr) = e^{x} + 2\operatorname{sen}(x) + x\cos(x)$$$$D''(0) = 1 + 0 + 0 = 1$$Como este último cociente sí tiene límite finito, la cadena de L'Hôpital es válida hacia atrás y$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x) - x + 2 - 2\cos(x)}{e^{x} - x\cos(x) - 1} = \frac{2}{1} = 2$$Comprobación con desarrollos de Taylor (rápida y muy segura en examen). Usando $\operatorname{sen}(x) = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$, $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$, $e^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$:$$N(x) = (1-a)x + x^{2} - \frac{x^{3}}{6} + \cdots \qquad\qquad D(x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2x^{3}}{3} + \cdots$$El denominador es un infinitésimo de orden $2$; para que el cociente no explote, el término en $x$ del numerador debe desaparecer, o sea $a = 1$. Y entonces$$\lim_{x\to 0}\frac{x^{2} + \cdots}{\frac{x^{2}}{2} + \cdots} = \frac{1}{\;1/2\;} = 2$$