Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2013 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sabiendo que

\lim_{x\to0}\frac{x\cos(x)+b\,\mathrm{sen}(x)}{x^{3}}

es finito, calcula

b

y el valor del límite.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{L'H 1: } \lim_{x\to0}\frac{\cos x-x\,\mathrm{sen}\,x+b\cos x}{3x^{2}}; \quad \text{numerador}\to 1+b\;}

\boxed{\;\text{Límite finito} \;\Longrightarrow\; 1+b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -1\;}

\boxed{\;\lim_{x\to0}\frac{-x\,\mathrm{sen}\,x}{3x^{2}} = \lim_{x\to0}\frac{-\mathrm{sen}\,x}{3x} = -\frac13\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El denominador es un infinitésimo de orden $3$ . Para que el límite sea finito, el numerador debe serlo al menos de orden

3

, es decir, no puede tener término de grado

1

.

Con L'Hôpital el razonamiento es el habitual: si tras derivar el denominador sigue tendiendo a

0

, el numerador está obligado a hacerlo también. Basta una aplicación para fijar

b

; después, simplificando el numerador, el límite sale sin volver a derivar (a ciegas harían falta tres aplicaciones).

Como comprobación (o como método alternativo), los desarrollos de Taylor lo resuelven de un vistazo:

x\cos x = x-\frac{x^{3}}{2}+\cdots \qquad b\,\mathrm{sen}\,x = b\,x-\frac{b\,x^{3}}{6}+\cdots

Desarrollo

Comprobación inicial. En

x=0

el numerador vale

0+0 = 0

: indeterminación

\frac00

para cualquier

b

.

Primera aplicación de L'Hôpital.

\lim_{x\to0}\frac{\cos x-x\,\mathrm{sen}\,x+b\cos x}{3x^{2}}

El denominador tiende a

0

; para que el límite sea finito, el numerador también:

1-0+b = 1+b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -1

Con $b = -1$ , el numerador es

\;\cos x-x\,\mathrm{sen}\,x-\cos x = -x\,\mathrm{sen}\,x

, así que

\lim_{x\to0}\frac{-x\,\mathrm{sen}\,x}{3x^{2}} = \lim_{x\to0}\frac{-\mathrm{sen}\,x}{3x} = -\frac13

(en el último paso se usa $\mathrm{sen}\,x\sim x$ , o una aplicación más de L'Hôpital).

b = -1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\mathrm{sen}\,x}{x^{3}} = -\frac{1}{3}

Comprobación con desarrollos de Taylor.

x\cos x+b\,\mathrm{sen}\,x = \left(x-\frac{x^{3}}{2}+\cdots\right)+b\left(x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots\right) = (1+b)\,x-\left(\frac12+\frac b6\right)x^{3}+\cdots

Para que el límite sea finito:

1+b = 0 \Rightarrow b = -1

. Y entonces

-\left(\frac12-\frac16\right) = -\frac13 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La condición de "límite finito" se aplica después de derivar una vez: como el denominador $3x^{2}$ tiende a $0$ , el numerador debe hacerlo, y de ahí sale $b=-1$ sin necesidad del valor del límite.

Con $b=-1$ el numerador se simplifica a $-x\,\mathrm{sen}\,x$ : simplifica antes de seguir derivando. Así el límite sale en una línea en vez de dos derivadas más.

Los desarrollos $\cos x \approx 1-\frac{x^{2}}{2}$ y $\mathrm{sen}\,x\approx x-\frac{x^{3}}{6}$ resuelven todo el ejercicio en cuatro líneas. Úsalos al menos para comprobar.