Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2023 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). De entre todos los rectángulos de diagonal

10

cm (cada una), calcula las dimensiones del que tiene mayor área.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{El rectángulo es un cuadrado de lado } 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \ \text{cm}\;}

\boxed{\;A_{\max} = 50 \ \text{cm}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Optimización con ligadura, en su versión más corta. La restricción es el teorema de Pitágoras: si los lados son

x

y

, la diagonal cumple

x^{2} + y^{2} = 100

.

Como en todos los problemas de área con raíz, conviene maximizar

A^{2}

en lugar de

A

: al ser

A > 0

y la función

u \mapsto u^{2}

creciente en los positivos, los dos alcanzan el máximo en el mismo punto, pero

A^{2}

es un polinomio.

Merece la pena anticipar el resultado: en este tipo de problemas "de entre todos los rectángulos con tal restricción, el de mayor área" la respuesta suele ser el cuadrado, y aquí lo es.

Desarrollo

Planteamiento. Sean

x

y

los lados del rectángulo, con

x, y > 0

\text{Ligadura: } \; x^{2} + y^{2} = 100 \;\Longrightarrow\; y = \sqrt{100 - x^{2}}, \qquad 0 < x < 10

\text{Función a maximizar: } \; A = xy = x\sqrt{100 - x^{2}}

Maximización de $A^{2}$ .

A(x)^{2} = x^{2}\bigl(100 - x^{2}\bigr) = 100x^{2} - x^{4}

\bigl(A^{2}\bigr)'(x) = 200x - 4x^{3} = 4x\bigl(50 - x^{2}\bigr)

\bigl(A^{2}\bigr)'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \;\text{(se descarta)} \quad \text{o} \quad x^{2} = 50 \;\Longrightarrow\; x = 5\sqrt{2}

Comprobación de que es máximo. En

(0,10)

el factor

4x

es positivo, así que el signo lo marca

50 - x^{2}

En $\bigl(0, 5\sqrt{2}\bigr)$ : positivo, $A$ crece.
En $\bigl(5\sqrt{2}, 10\bigr)$ : negativo, $A$ decrece.

Luego

x = 5\sqrt{2}

da el máximo.

Dimensiones.

y = \sqrt{100 - 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

Los dos lados coinciden: el rectángulo de área máxima es el cuadrado de lado

5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \ \text{cm}

Área máxima.

A = 5\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2} = 25\cdot 2 = 50 \ \text{cm}^{2}

(Comprobación de coherencia: la diagonal del cuadrado de lado $5\sqrt{2}$ es $5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 10$ cm, como pedía el enunciado.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Es un cuadrado" es la respuesta, pero no es la demostración. Aunque intuyas el resultado, hay que plantear la función, derivar y estudiar el signo: los criterios de corrección reparten los puntos por el planteamiento y por el cálculo de los puntos críticos, no por acertar el número.

Y no te dejes el estudio del signo de la derivada (o la segunda derivada). Un punto crítico puede ser máximo, mínimo o ninguna de las dos cosas; decir "como es el único, es el máximo" sin justificarlo pierde puntos aunque el resultado sea correcto.

Paso 1 de 3

¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.

Sigue practicando

Optimización

Ejercicio 2 (bloque con optatividad 1). Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas…

Matemáticas II · Andalucía · 2025 · Reserva 3 Optimización

Ejercicio 1 (bloque A). De entre todos los rectángulos de área