Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2010 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \ln\bigl(x^{2}+3x\bigr)

donde

\ln

denota el logaritmo neperiano.

a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de

f

en los que la recta tangente es paralela a la recta de ecuación

\;x-2y+1 = 0

.

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \frac{2x+3}{x^{2}+3x}; \qquad x-2y+1 = 0 \Rightarrow m = \tfrac12\;}

\boxed{\;\frac{2x+3}{x^{2}+3x} = \frac12 \Rightarrow x^{2}-x-6 = 0 \Rightarrow x = 3 \ (x=-2 \text{ fuera del dominio})\;}

\boxed{\;\text{a) Punto } \bigl(3,\ \ln18\bigr)\;}

\boxed{\;\text{b) Tang.: } y = \tfrac{x}{2}-\tfrac32+\ln18; \quad \text{Normal: } y = -2x+6+\ln18\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira alrededor de la derivada de un logaritmo compuesto:

f'(x) = \frac{2x+3}{x^{2}+3x}

a) "Tangente paralela" $\Rightarrow$ misma pendiente: se despeja $m$ de la recta dada y se resuelve $f'(x) = m$ . Ojo: hay que descartar las soluciones fuera del dominio $(0,+\infty)$ .
b) Rutina: $f(3)$ , $f'(3)$ , y las dos rectas (la normal con pendiente $-\frac{1}{f'(3)}$ ).

Desarrollo

La derivada.

f'(x) = \frac{2x+3}{x^{2}+3x}

a) La pendiente de la recta dada.

x-2y+1 = 0 \;\Longrightarrow\; 2y = x+1 \;\Longrightarrow\; y = \frac{x}{2}+\frac12 \;\Longrightarrow\; m = \frac12

Imponemos $f'(x) = \frac12$ :

\frac{2x+3}{x^{2}+3x} = \frac12 \;\Longrightarrow\; 2\,(2x+3) = x^{2}+3x

4x+6 = x^{2}+3x \;\Longrightarrow\; x^{2}-x-6 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-3)(x+2) = 0

x = 3 \qquad \text{o} \qquad x = -2

Descartamos $x = -2$ : no está en el dominio

(0,+\infty)

f(3) = \ln\bigl(9+9\bigr) = \ln18

\text{Único punto: } \bigl(3,\; \ln18\bigr) \approx (3;\ 2{,}89)

b) Las rectas en $x = 3$ .

f(3) = \ln18 \qquad f'(3) = \frac{6+3}{9+9} = \frac{9}{18} = \frac12

Tangente (pendiente

\frac12

y-\ln18 = \frac12\,(x-3) \;\Longrightarrow\; y = \frac{x}{2}-\frac32+\ln18

Normal (pendiente

-\dfrac{1}{1/2} = -2

y-\ln18 = -2\,(x-3) \;\Longrightarrow\; y = -2x+6+\ln18

Comprobación: el producto de pendientes es

\;\frac12\cdot(-2) = -1

\;\checkmark

(Nota: el punto de b) es justo el hallado en a), como cabía esperar, porque $f'(3) = \frac12$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El dominio del enunciado, $(0,+\infty)$ , no es decorativo: sirve para descartar $x = -2$ . Comprueba siempre que las soluciones caen dentro.

Al derivar $\ln u$ , la fórmula es $\frac{u'}{u}$ : aquí $u = x^{2}+3x$ y $u' = 2x+3$ . Escribirlo como $\frac{1}{x^{2}+3x}$ sin el numerador es el error más común.

Deja el resultado con $\ln18$ exacto. Redondear a $2{,}89$ dentro de la ecuación de la recta hace perder precisión y no aporta nada.