Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2024 · Julio

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Sea la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)e^{-x^{2}}

a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.

b) [1 punto] Halla los extremos absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) Decreciente en } \left(-\infty,-\tfrac{1}{2}\right) \text{ y } (1,+\infty); \quad \text{creciente en } \left(-\tfrac{1}{2},\,1\right)\;}

\boxed{\;\text{b) Mínimo absoluto: } f\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -e^{-1/4} \approx -0{,}78; \quad \text{máximo absoluto: } f(1) = \tfrac{1}{2e} \approx 0{,}18\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al derivar el producto aparece

e^{-x^{2}}

en los dos sumandos: sacándolo como factor común, el signo de

f'

queda determinado solo por un polinomio de segundo grado, porque la exponencial es siempre positiva. Eso convierte el apartado a) en resolver una ecuación de segundo grado y estudiar el signo de una parábola.

En b) hay un detalle importante: el dominio es todo

\mathbb{R}

, que no es acotado, así que Weierstrass no sirve y hay que mirar el comportamiento en el infinito. Aquí la gaussiana

e^{-x^{2}}

aplasta al factor lineal y

f \to 0

en ambos extremos; como uno de los extremos relativos es positivo y el otro negativo, los dos serán absolutos.

Desarrollo

a) La derivada. Regla del producto, con la cadena en la exponencial:

f'(x) = 1\cdot e^{-x^{2}} + \left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot(-2x)\,e^{-x^{2}} = e^{-x^{2}}\left[1 - 2x\left(x - \frac{1}{2}\right)\right]

f'(x) = e^{-x^{2}}\bigl(-2x^{2} + x + 1\bigr)

Como

e^{-x^{2}} > 0

para todo

x

, el signo de $f'$ es el del paréntesis. Sus raíces:

-2x^{2} + x + 1 = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2x^{2} - x - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}

x = 1 \qquad\text{y}\qquad x = -\frac{1}{2}

Es decir,

-2x^{2}+x+1 = -2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)

. Al ser una parábola con las ramas hacia abajo, es positiva entre las raíces y negativa fuera:

\begin{array}{c|c|c|c} x & \left(-\infty,\ -\frac{1}{2}\right) & \left(-\frac{1}{2},\ 1\right) & (1,\ +\infty) \\ \hline f'(x) & - & + & - \\ \hline f(x) & \text{decreciente} & \text{creciente} & \text{decreciente} \end{array}

b) Extremos. Del cuadro de signos:

En $x = -\frac{1}{2}$ , $f'$ pasa de $-$ a $+$ : mínimo relativo.

f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)e^{-1/4} = -e^{-1/4} = -\frac{1}{\sqrt[4]{e}} \approx -0{,}78

En $x = 1$ , $f'$ pasa de $+$ a $-$ : máximo relativo.

f(1) = \left(1 - \frac{1}{2}\right)e^{-1} = \frac{1}{2e} \approx 0{,}18

¿Son absolutos? Hay que mirar los extremos del dominio:

\lim_{x\to\pm\infty} \left(x-\frac{1}{2}\right)e^{-x^{2}} = 0

(la exponencial $e^{-x^{2}}$ tiende a $0$ mucho más rápido de lo que crece el factor lineal; formalmente, $\lim \frac{x-1/2}{e^{x^{2}}} = 0$ por L'Hôpital).

Juntando los límites con la monotonía de a): en

\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)

la función baja desde valores próximos a

0

hasta

-e^{-1/4}

; en

\left(-\frac{1}{2},1\right)

sube hasta

\frac{1}{2e}

, y en

(1,+\infty)

vuelve a bajar hacia

0

sin alcanzarlo. Por tanto:

el valor más pequeño que alcanza es $-e^{-1/4} < 0$ , luego es el mínimo absoluto;
el valor más grande es $\frac{1}{2e} > 0$ , luego es el máximo absoluto.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Saca $e^{-x^{2}}$ como factor común en cuanto derives. Es siempre positivo, así que no influye en el signo y el problema se reduce a una parábola. Quien intenta estudiar el signo del producto entero se complica sin motivo.

Y para que un extremo relativo sea absoluto en un dominio no acotado hay que calcular los límites en $\pm\infty$ : Weierstrass no se aplica en $\mathbb{R}$ . Aquí ambos límites valen $0$ , y eso es justo lo que convierte los dos extremos relativos en absolutos.