Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2021 · Julio

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = 1 + \int_{0}^{x} t\,e^{t}\,dt

Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de

f

y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = x\,e^{x}, \qquad f''(x) = (1+x)\,e^{x}\;}

\boxed{\;\text{Cóncava en } (-\infty, -1), \quad \text{convexa en } (-1, +\infty)\;}

\boxed{\;\text{Punto de inflexión: } \left(-1,\; 2 - \frac{2}{e}\right) \approx (-1,\; 1{,}26)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El teorema fundamental del cálculo hace todo el trabajo de la primera derivada: la constante

1

desaparece al derivar y queda

f'(x) = x\,e^{x}

sin necesidad de integrar nada. Para la curvatura solo hace falta derivar una vez más, que es un producto elemental.

El único punto donde sí hay que integrar es al final, para dar el valor que se alcanza en el punto de inflexión (el enunciado lo pide explícitamente). Ahí entra la integración por partes.

Desarrollo

Primera derivada. Por el teorema fundamental del cálculo (la constante

1

no aporta nada al derivar):

f'(x) = x\,e^{x}

Segunda derivada. Regla del producto:

f''(x) = 1\cdot e^{x} + x\,e^{x} = (1 + x)\,e^{x}

Signo de $f''$ . Como

e^{x} > 0

para todo

x

, el signo lo decide únicamente el factor

(1+x)

f''(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = -1

En $(-\infty, -1)$ : $\;1 + x < 0$ , luego $f'' < 0$ : la función es cóncava ( $\cap$ ).
En $(-1, +\infty)$ : $\;1 + x > 0$ , luego $f'' > 0$ : la función es convexa ( $\cup$ ).

Punto de inflexión. En

x = -1

la segunda derivada se anula y cambia de signo, así que hay punto de inflexión. Falta su ordenada:

f(-1) = 1 + \int_{0}^{-1} t\,e^{t}\,dt

La integral, por partes. Con

u = t

(

du = dt

) y

dv = e^{t}dt

(

v = e^{t}

\int t\,e^{t}\,dt = t\,e^{t} - \int e^{t}\,dt = t\,e^{t} - e^{t} = (t - 1)\,e^{t}

\int_{0}^{-1} t\,e^{t}\,dt = \Bigl[(t-1)e^{t}\Bigr]_{0}^{-1} = (-1-1)e^{-1} - (0-1)e^{0} = -\frac{2}{e} + 1

f(-1) = 1 + 1 - \frac{2}{e} = 2 - \frac{2}{e} \approx 2 - 0{,}736 = 1{,}264

El punto de inflexión es

\left(-1,\; 2 - \frac{2}{e}\right) \approx (-1,\; 1{,}264)

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Consejo

Para la curvatura no hace falta calcular la integral: el teorema fundamental te da $f'$ directamente y $f''$ es una derivada más. Integrar al principio es trabajo perdido y complica el estudio del signo.

Pero sí hay que integrar al final: el enunciado pide "valores que se alcanzan", o sea la ordenada del punto de inflexión, y esa solo se obtiene evaluando $f(-1)$ . Es la parte que más se olvida; dar únicamente $x = -1$ deja el apartado incompleto.