Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2019 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Calcula

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x) - e^{-2x} - 2x}{\operatorname{sen}^{2}(x)}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Indeterminación } \tfrac00; \qquad \operatorname{sen}^{2}x \sim x^{2}\;}

\boxed{\;\overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen} x + 2e^{-2x} - 2}{2x} \;\overset{\text{L'H}}{=}\; \lim_{x\to 0}\frac{-\cos x - 4e^{-2x}}{2}\;}

\boxed{\;L = \frac{-1-4}{2} = -\frac{5}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Sustituyendo

x=0

el numerador vale

1 - 1 - 0 = 0

y el denominador

0

: indeterminación

\dfrac{0}{0}

. Toca L'Hôpital, pero hay que aplicarlo dos veces, porque tras la primera derivación sigue saliendo

\frac00

.

Un atajo muy útil: en el denominador se puede sustituir

\operatorname{sen}^{2}x

por

x^{2}

, ya que

\operatorname{sen} x \sim x

cuando

x\to 0

(infinitésimos equivalentes). Eso simplifica mucho las derivadas sucesivas y evita arrastrar productos trigonométricos.

Desarrollo

Comprobación de la indeterminación.

\text{Numerador en } x=0: \; \cos 0 - e^{0} - 0 = 1 - 1 = 0

\text{Denominador en } x=0: \; \operatorname{sen}^{2} 0 = 0

Simplificación del denominador. Como

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1

, se tiene

\operatorname{sen}^{2}x \sim x^{2}

L = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x - e^{-2x} - 2x}{x^{2}}

Primera aplicación de L'Hôpital.

L = \lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen} x + 2e^{-2x} - 2}{2x}

x=0

\;-0 + 2 - 2 = 0

2\cdot 0 = 0

. Sigue siendo $\frac00$ .

Segunda aplicación.

L = \lim_{x\to 0}\frac{-\cos x - 4e^{-2x}}{2}

Ahora ya no hay indeterminación: se sustituye directamente.

L = \frac{-1 - 4}{2} = -\frac{5}{2} = -2{,}5

Comprobación con desarrollos de Taylor. En torno a

x=0

\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \cdots, \qquad e^{-2x} = 1 - 2x + 2x^{2} - \cdots

\cos x - e^{-2x} - 2x = \left(1 - \frac{x^{2}}{2}\right) - \bigl(1 - 2x + 2x^{2}\bigr) - 2x + \cdots = -\frac{5x^{2}}{2} + \cdots

Dividiendo entre

x^{2}

se obtiene

-\dfrac52

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba la indeterminación después de cada derivación. Aquí, tras la primera vuelta, el resultado sigue siendo $\frac00$ y hay que insistir. Aplicar L'Hôpital cuando ya no hay indeterminación es un error grave (da un valor falso), y quedarse a medias deja el límite sin calcular.

Sustituir $\operatorname{sen}^{2}x$ por $x^{2}$ es legítimo (infinitésimos equivalentes) y ahorra muchísimo: derivar $\operatorname{sen}^{2}x$ da $2\operatorname{sen} x\cos x = \operatorname{sen} 2x$ , y a la segunda vuelta $2\cos 2x$ , todo mucho más engorroso.

Cuidado con la cadena en $e^{-2x}$ : su derivada es $-2e^{-2x}$ , y la segunda $4e^{-2x}$ . Los signos de esos factores son justo lo que determina el $-\frac52$ final.