Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f

la función definida por

f(x) = \dfrac{2x^{2}}{(x+1)(x-2)}

para

x\neq-1

x\neq2

.

a) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.

c) [0,5 puntos] Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de

f

donde ésta corta a la asíntota horizontal.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) A.V. } x = -1 \text{ y } x = 2; \qquad \text{A.H. } y = 2 \text{ (grados iguales)}\;}

\boxed{\;f'(x) = \frac{-2x\,(x+4)}{\bigl(x^{2}-x-2\bigr)^{2}}, \quad \text{signo} = \text{signo}\bigl(-2x(x+4)\bigr)\;}

\boxed{\;\text{Crece en } (-4,-1)\cup(-1,0); \ \text{decrece en } (-\infty,-4)\cup(0,2)\cup(2,\infty)\;}

\boxed{\;\text{c) } f(x) = 2 \;\Longrightarrow\; x = -2: \quad \text{corta a } y=2 \text{ en } (-2,2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Dos asíntotas verticales (donde se anula el denominador y no el numerador) y una horizontal: como numerador y denominador tienen el mismo grado, el límite en $\pm\infty$ es el cociente de los coeficientes principales, $\frac{2}{1} = 2$ .
b) Derivada del cociente. El denominador de $f'$ es un cuadrado, luego el signo lo decide el numerador.
c) El apartado c) desmonta un mito frecuente: una curva sí puede cortar a su asíntota horizontal. Basta resolver $f(x) = 2$ .

Desarrollo

a) Asíntotas verticales. El denominador se anula en

x=-1

x=2

, donde el numerador vale

2

8

(no nulos):

\lim_{x\to-1^{-}}f = +\infty, \quad \lim_{x\to-1^{+}}f = -\infty \qquad \lim_{x\to2^{-}}f = -\infty, \quad \lim_{x\to2^{+}}f = +\infty

\textbf{A.V.: } x = -1 \ \text{ y } \ x = 2

Asíntota horizontal. Desarrollando el denominador,

\;(x+1)(x-2) = x^{2}-x-2

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^{2}}{x^{2}-x-2} = 2

\textbf{A.H.: } y = 2 \ \text{ (en } +\infty \text{ y en } -\infty)

(Al haber horizontal en ambos lados, no hay oblicuas.)

b) La derivada.

f'(x) = \frac{4x\,(x^{2}-x-2)-2x^{2}\,(2x-1)}{\bigl(x^{2}-x-2\bigr)^{2}} = \frac{4x^{3}-4x^{2}-8x-4x^{3}+2x^{2}}{\bigl(x^{2}-x-2\bigr)^{2}}

f'(x) = \frac{-2x^{2}-8x}{\bigl(x^{2}-x-2\bigr)^{2}} = \frac{-2x\,(x+4)}{\bigl(x^{2}-x-2\bigr)^{2}}

Puntos críticos. El denominador es un cuadrado (positivo en el dominio), así que el signo es el de

-2x(x+4)

-2x\,(x+4) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -4 \quad \text{o} \quad x = 0

Signo, partiendo también en

x=-1

x=2

(fuera del dominio):

x<-4: \; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

-4<x<-1 \ \text{ y } \ -1<x<0: \; f'>0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

0<x<2 \ \text{ y } \ x>2: \; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

\text{Crece en } (-4,-1)\cup(-1,0) \qquad \text{Decrece en } (-\infty,-4)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)

(Extremos: mínimo relativo en $\left(-4,\frac{16}{9}\right)$ y máximo relativo en $(0,0)$ .)

c) Corte con la asíntota horizontal.

\frac{2x^{2}}{x^{2}-x-2} = 2 \;\Longrightarrow\; 2x^{2} = 2x^{2}-2x-4 \;\Longrightarrow\; 0 = -2x-4 \;\Longrightarrow\; x = -2

f(-2) = \frac{8}{(-1)(-4)} = 2 \;\checkmark

\textbf{Sí corta: en el punto } (-2,\, 2)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con grados iguales, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales: $\frac{2}{1} = 2$ , no $y=0$ .

Una gráfica sí puede cortar a su asíntota horizontal. La asíntota describe el comportamiento en el infinito, no una barrera. El apartado c) existe justo para comprobar que lo sabes.

Al dar los intervalos de monotonía, excluye $x=-1$ y $x=2$ aunque $f'$ no cambie de signo ahí: no están en el dominio y los intervalos deben partirse.