Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Siendo

a > 1

, considera el rectángulo de vértices

A(1,0)

B(1,1)

C(a,1)

D(a,0)

. La gráfica de la función

f

definida por

f(x) = \frac{1}{x^{2}} \qquad \text{para } x \neq 0

divide al rectángulo anterior en dos recintos.

a) [0,5 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de

f

y del rectángulo descrito.

b) [2 puntos] Determina el valor de

a

para el que los dos recintos descritos tienen igual área.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A_{\text{rect}} = a - 1; \qquad S = \int_{1}^{a}\frac{dx}{x^{2}} = \frac{a-1}{a}\;}

\boxed{\;\frac{a-1}{a} = \frac{a-1}{2} \;\Longrightarrow\; \frac1a = \frac12 \;\Longrightarrow\; a = 2\;}

\boxed{\;\text{Con } a = 2 \text{ los dos recintos miden } \tfrac12 \text{ cada uno}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Observación clave: la curva

y = 1/x^{2}

pasa exactamente por el vértice $B(1,1)$ (porque

f(1)=1

) y entra en el rectángulo, saliendo por el lado derecho en

\bigl(a, \tfrac{1}{a^{2}}\bigr)

. Así queda partido en dos recintos.

Si el área bajo la curva dentro del rectángulo es

S

, y el rectángulo tiene área total

a-1

, la condición "los dos recintos tienen igual área" se traduce en

S = \frac{a-1}{2}

Basta calcular

S

con una integral inmediata y despejar.

Desarrollo

a) El esbozo. El rectángulo tiene base sobre el eje

OX

x=1

x=a

, y altura

1

. La curva

y = \frac{1}{x^{2}}

es decreciente y positiva; vale

f(1) = 1 \quad (\text{el vértice } B), \qquad f(a) = \frac{1}{a^{2}} < 1 \quad (\text{por ser } a > 1)

Así que entra por la esquina superior izquierda, baja dentro del rectángulo y sale por el lado derecho, dividiéndolo en un recinto inferior (bajo la curva) y otro superior.

b) Área del rectángulo.

A_{\text{rect}} = (a - 1)\cdot 1 = a - 1

Área bajo la curva dentro del rectángulo.

S = \int_{1}^{a}\frac{dx}{x^{2}} = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{a} = -\frac{1}{a} + 1 = \frac{a-1}{a}

Condición de igualdad. El recinto inferior debe ser la mitad del rectángulo:

\frac{a-1}{a} = \frac{a-1}{2}

Como

a > 1

, se cumple

a - 1 \neq 0

y se puede dividir por ese factor:

\frac{1}{a} = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; a = 2

Comprobación. Con

a = 2

A_{\text{rect}} = 1, \qquad S = \int_{1}^{2}\frac{dx}{x^{2}} = 1 - \frac12 = \frac12 = \frac{A_{\text{rect}}}{2} \quad \checkmark

Los dos recintos miden

\tfrac12

cada uno.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No hace falta calcular las dos áreas: basta con imponer que una de ellas sea la mitad del rectángulo. Es la traducción más corta de "los dos recintos tienen igual área".

Al simplificar $\frac{a-1}{a} = \frac{a-1}{2}$ , justifica que $a-1\neq 0$ antes de dividir (lo garantiza la hipótesis $a>1$ ). Si no lo dices, formalmente aparece la solución espuria $a=1$ , que degeneraría el rectángulo.

$\int\frac{dx}{x^{2}} = -\frac1x$ , no un logaritmo. Solo el exponente $-1$ da logaritmo; aquí el exponente es $-2$ y se aplica la regla de la potencia.