Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Considera la función

f

definida por

f(x) = a\,x\ln(x) - b\,x \qquad \text{para } x > 0

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano). Determina

a

b

sabiendo que

f

tiene un extremo relativo en

x = 1

y que

\int_{1}^{2} f(x)\,dx = 8\ln(2) - 9

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = a\ln x + a - b; \qquad f'(1) = a - b = 0 \;\Longrightarrow\; b = a\;}

\boxed{\;\int_{1}^{2}\bigl(a x\ln x - a x\bigr)dx = a\left(2\ln 2 - \tfrac94\right) = 8\ln 2 - 9\;}

\boxed{\;a = 4, \qquad b = 4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos condiciones de tipo muy distinto:

La del extremo relativo es puramente diferencial: $f'(1) = 0$ . Como $\ln 1 = 0$ , la ecuación se simplifica muchísimo y da directamente $a = b$ .
La de la integral definida obliga a calcular $\int x\ln x\,dx$ por partes.

Conviene imponer primero la fácil: con

b = a

, la integral queda en función de una sola incógnita y la segunda ecuación es lineal.

Desarrollo

Condición 1: extremo relativo en $x=1$ .

f'(x) = a\,\bigl(\ln x + 1\bigr) - b = a\ln x + a - b

f'(1) = a\cdot 0 + a - b = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{b = a}

Con eso,

f(x) = a\,\bigl(x\ln x - x\bigr)

.

Condición 2: la integral. Calculamos primero

\displaystyle\int_{1}^{2} x\ln x\,dx

por partes, con

u = \ln x

dv = x\,dx

du = \frac{dx}{x}, \qquad v = \frac{x^{2}}{2}

\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}\ln x}{2} - \int\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{dx}{x} = \frac{x^{2}\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4}

\int_{1}^{2} x\ln x\,dx = \left(2\ln 2 - 1\right) - \left(0 - \frac14\right) = 2\ln 2 - \frac34

Y la parte lineal:

\int_{1}^{2} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = 2 - \frac12 = \frac32

Juntando (con

b = a

\int_{1}^{2} f(x)\,dx = a\left(2\ln 2 - \frac34\right) - a\cdot\frac32 = a\left(2\ln 2 - \frac94\right)

Ecuación.

a\left(2\ln 2 - \frac94\right) = 8\ln 2 - 9

El segundo miembro es exactamente

4

veces el paréntesis:

8\ln 2 - 9 = 4\left(2\ln 2 - \frac94\right)

a = 4 \;\Longrightarrow\; b = 4

Comprobación. Con

f(x) = 4x\ln x - 4x

f'(x) = 4\ln x + 4 - 4 = 4\ln x \;\Longrightarrow\; f'(1) = 0 \quad \checkmark

(y además

f'' (x)= 4/x > 0

, así que en

x=1

hay un mínimo relativo).

\int_{1}^{2} f = 4\left(2\ln 2 - \frac94\right) = 8\ln 2 - 9 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Aplica primero la condición del extremo: como $\ln 1 = 0$ , la ecuación $f'(1)=0$ se reduce a $a = b$ y deja la integral con una sola incógnita. Al revés, tendrías que manejar dos parámetros dentro de la integral.

Derivar $x\ln x$ da $\ln x + 1$ (regla del producto), no $\ln x$ ni $\frac1x$ . Ese $+1$ es lo que cancela el $-b$ y produce la relación $a=b$ .

Para reconocer $a$ sin despejar a la fuerza, compara estructuras: $8\ln 2 - 9$ es $4\,(2\ln 2 - \tfrac94)$ . Ver ese factor común ahorra manipular logaritmos y evita redondeos innecesarios.