Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Determina la función

f\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R}

tal que

f''(x) = \frac1x

y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto

P(1,1)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \int\frac{dx}{x} = \ln x+C_{1}\;}

\boxed{\;\text{Tangente horizontal}: f'(1) = 0 \Rightarrow C_{1} = 0, \ \ f'(x) = \ln x\;}

\boxed{\;\int\ln x\,dx = x\ln x-x \quad (u = \ln x, \ dv = dx)\;}

\boxed{\;f(1) = 1 \Rightarrow C_{2} = 2: \qquad f(x) = x\ln x-x+2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay que integrar dos veces, y cada integración trae una constante que se fija con una condición del enunciado:

"tangente horizontal en $P$ " $\Rightarrow f'(1) = 0$ (fija $C_{1}$ ),
"pasa por $P(1,1)$ " $\Rightarrow f(1) = 1$ (fija $C_{2}$ ).

La segunda integral,

\displaystyle\int\ln x\,dx

, se hace por partes con

u = \ln x

dv = dx

Desarrollo

Primera integración.

f'(x) = \int\frac{dx}{x} = \ln x+C_{1} \qquad (x>0, \text{ así que no hace falta el valor absoluto})

Condición de tangente horizontal:

\;f'(1) = 0

\ln1+C_{1} = 0+C_{1} = 0 \;\Longrightarrow\; C_{1} = 0

f'(x) = \ln x

Segunda integración (por partes). Con

u = \ln x

\;dv = dx

du = \frac{dx}{x} \qquad v = x

\int\ln x\,dx = x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x-\int dx = x\ln x-x

f(x) = x\ln x-x+C_{2}

Condición de paso por $P(1,1)$ :

\;f(1) = 1

1\cdot\ln1-1+C_{2} = 0-1+C_{2} = 1 \;\Longrightarrow\; C_{2} = 2

f(x) = x\ln x-x+2

Comprobaciones.

f(1) = 0-1+2 = 1 \;\checkmark

f'(x) = \ln x+x\cdot\frac1x-1 = \ln x+1-1 = \ln x \;\Longrightarrow\; f'(1) = 0 \;\checkmark

f''(x) = \frac1x \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Dos integraciones $\Rightarrow$ dos constantes. Fija $C_{1}$ en cuanto tengas $f'$ : si arrastras las dos hasta el final, el sistema se complica sin necesidad.

$\displaystyle\int\ln x\,dx$ se hace por partes con $dv = dx$ . Es un truco que conviene tener memorizado: $\int\ln x\,dx = x\ln x-x$ .

Como el dominio es $(0,+\infty)$ , escribe $\ln x$ sin valor absoluto y aprovecha $\ln1 = 0$ para que las dos condiciones queden inmediatas.