Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 6. Sea

f

la función dada por

f(x) = \frac{3x^{2} + 4}{(x-2)^{2}} \qquad \text{para } x \neq 2

a) [2 puntos] Calcula

\displaystyle\int f(x)\,dx

.

b) [0,5 puntos] Calcula la primitiva de

f

cuya gráfica pasa por el punto

(3,5)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = 3 + \frac{12}{x-2} + \frac{16}{(x-2)^{2}}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \int f(x)\,dx = 3x + 12\ln|x-2| - \frac{16}{x-2} + C\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad F(3) = -7 + C = 5 \;\Longrightarrow\; C = 12; \qquad F(x) = 3x + 12\ln|x-2| - \frac{16}{x-2} + 12\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función racional con el grado del numerador igual al del denominador y una raíz doble abajo. La descomposición en fracciones simples toma entonces la forma

\frac{3x^{2}+4}{(x-2)^{2}} = A + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^{2}}

El truco más rápido para obtenerla no es plantear el sistema, sino el cambio $u = x - 2$ : se sustituye

x = u + 2

arriba, se desarrolla y se divide término a término entre

u^{2}

. Sale en tres líneas.

En b), imponer el paso por

(3,5)

es simplemente calcular la constante

C

Desarrollo

a) Descomposición. Con

u = x - 2

, es decir

x = u + 2

3x^{2} + 4 = 3(u+2)^{2} + 4 = 3\bigl(u^{2} + 4u + 4\bigr) + 4 = 3u^{2} + 12u + 16

f = \frac{3u^{2} + 12u + 16}{u^{2}} = 3 + \frac{12}{u} + \frac{16}{u^{2}}

Deshaciendo el cambio:

f(x) = 3 + \frac{12}{x-2} + \frac{16}{(x-2)^{2}}

(Comprobación rápida en $x = 3$ : $\;3 + 12 + 16 = 31$ , y directamente $\frac{27+4}{1} = 31\;\checkmark$ )

Integración término a término.

\int 3\,dx = 3x

\int\frac{12}{x-2}\,dx = 12\ln|x-2|

\int\frac{16}{(x-2)^{2}}\,dx = 16\int (x-2)^{-2}dx = 16\cdot\frac{(x-2)^{-1}}{-1} = -\frac{16}{x-2}

\int f(x)\,dx = 3x + 12\ln|x-2| - \frac{16}{x-2} + C

b) La primitiva que pasa por $(3,5)$ . Sustituimos

x = 3

e imponemos que valga

5

F(3) = 9 + 12\ln|1| - \frac{16}{1} + C = 9 + 0 - 16 + C = -7 + C

-7 + C = 5 \;\Longrightarrow\; C = 12

F(x) = 3x + 12\ln|x-2| - \frac{16}{x-2} + 12

Comprobación (derivando

F

F'(x) = 3 + \frac{12}{x-2} + \frac{16}{(x-2)^{2}} = f(x) \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con una raíz doble en el denominador, la descomposición necesita dos términos ( $\frac{B}{x-2}$ y $\frac{C}{(x-2)^{2}}$ ), más el término constante $A$ porque los grados de numerador y denominador coinciden. Olvidar cualquiera de los tres deja la integral mal.

El atajo del cambio $u = x-2$ te ahorra plantear y resolver un sistema: sustituyes, desarrollas el cuadrado y divides entre $u^{2}$ . Es el método más rápido cuando todo el denominador es una potencia de un mismo binomio.

Y ojo al integrar $(x-2)^{-2}$ : da $-\frac{1}{x-2}$ , no un logaritmo. Solo el exponente $-1$ produce logaritmo.