Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2015 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

f

la función definida por

f(x) = \dfrac{\ln(x)}{2x}

para

x>0

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano) y sea

F

la primitiva de

f

tal que

F(1) = 2

.

a) [0,5 puntos] Calcula

F'(e)

.

b) [2 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

F

en el punto de abscisa

x = e

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } F' = f \;\Longrightarrow\; F'(e) = f(e) = \frac{\ln e}{2e} = \frac{1}{2e}\;}

\boxed{\;\int\frac{\ln x}{2x}dx \overset{u=\ln x}{=} \frac12\int u\,du = \frac{(\ln x)^{2}}{4}; \qquad F(1)=2 \Rightarrow K = 2\;}

\boxed{\;F(x) = \frac{(\ln x)^{2}}{4}+2, \qquad F(e) = \frac94\;}

\boxed{\;y = \frac94+\frac{1}{2e}(x-e) = \frac{x}{2e}+\frac74\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Por definición de primitiva, $F' = f$ . Así que $F'(e) = f(e)$ : una simple sustitución, sin integrar nada.
b) Para la tangente hacen falta la pendiente (ya la tenemos, es $F'(e)$ ) y el punto, es decir, $F(e)$ . Y para eso sí hay que calcular $F$ .

La integral

\int\frac{\ln x}{2x}\,dx

no es por partes: es inmediata con el cambio

u = \ln x

, porque

du = \frac{dx}{x}

y el

\frac1x

ya está en el integrando.

Desarrollo

a) La derivada de la primitiva.

F'(x) = f(x) \;\Longrightarrow\; F'(e) = f(e) = \frac{\ln e}{2e} = \frac{1}{2e} \approx 0{,}184

b) La primitiva. Con el cambio

u = \ln x

\;du = \dfrac{dx}{x}

\int\frac{\ln x}{2x}\,dx = \frac12\int \ln x\cdot\frac{dx}{x} = \frac12\int u\,du = \frac{u^{2}}{4} = \frac{\bigl(\ln x\bigr)^{2}}{4}

F(x) = \frac{\bigl(\ln x\bigr)^{2}}{4}+K

La constante. Imponiendo

F(1) = 2

, y como

\ln 1 = 0

\frac{0}{4}+K = 2 \;\Longrightarrow\; K = 2 \qquad\Longrightarrow\qquad F(x) = \frac{\bigl(\ln x\bigr)^{2}}{4}+2

El punto de tangencia.

F(e) = \frac{\bigl(\ln e\bigr)^{2}}{4}+2 = \frac{1}{4}+2 = \frac{9}{4}

La recta tangente, con pendiente

F'(e) = \dfrac{1}{2e}

por el punto

\left(e,\ \dfrac94\right)

y-\frac94 = \frac{1}{2e}\,(x-e) \qquad\Longleftrightarrow\qquad y = \frac{x}{2e}+\frac94-\frac12 = \frac{x}{2e}+\frac{7}{4}

Comprobación.

F'(x) = \frac{2\ln x}{4}\cdot\frac1x = \frac{\ln x}{2x} = f(x) \;\checkmark \qquad F(1) = 0+2 = 2 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El apartado a) es regalado: $F' = f$ por definición de primitiva. No hay que integrar; solo sustituir $x=e$ en $f$ .

$\int\frac{\ln x}{x}dx$ no es por partes. El $\frac1x$ es exactamente la derivada de $\ln x$ , así que es de tipo $\int u\,du = \frac{u^{2}}{2}$ . Reconocerlo ahorra mucho tiempo.

Ojo con $\frac12$ : sale fuera de la integral y da $\frac{(\ln x)^{2}}{4}$ , no $\frac{(\ln x)^{2}}{2}$ . Comprueba derivando el resultado antes de imponer $F(1)=2$ .