Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2022 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Considera la función

F : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}

definida por

F(x) = \int_{0}^{x} 2t\cos(t)\,dt

a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

F

.

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

F

en el punto de abscisa

x = \pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Creciente en } \left(0, \tfrac{\pi}{2}\right) \text{ y } \left(\tfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right); \quad \text{decreciente en } \left(\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2}\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad F(\pi) = -4, \quad F'(\pi) = -2\pi \;\Longrightarrow\; y = -2\pi\,(x - \pi) - 4 = -2\pi x + 2\pi^{2} - 4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El teorema fundamental del cálculo hace casi todo el trabajo:

F

es derivable y

F'(x) = 2x\cos(x)

Con eso, el apartado a) no requiere calcular ninguna integral: basta estudiar el signo de

2x\cos x

[0, 2\pi]

, y como ahí

2x \geq 0

, el signo lo decide solo el coseno.

Para b) sí hace falta el valor

F(\pi)

, y ahí no hay más remedio que integrar

2t\cos t

por partes. La pendiente, en cambio, vuelve a salir del teorema fundamental sin esfuerzo.

Desarrollo

a) Derivada y monotonía. Por el teorema fundamental del cálculo,

F'(x) = 2x\cos(x)

En el intervalo

[0, 2\pi]

se cumple

2x \geq 0

2x > 0

salvo en el extremo

x=0

), así que el signo de

F'

coincide con el de

\cos x

\cos x > 0 \;\text{ en } \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right], \qquad \cos x < 0 \;\text{ en } \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)

Por tanto:

$F$ es creciente en $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ y en $\left(\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ .
$F$ es decreciente en $\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right)$ .

(En consecuencia, $F$ tiene un máximo relativo en $x = \frac{\pi}{2}$ y un mínimo relativo en $x = \frac{3\pi}{2}$ .)

b) Valor de $F(\pi)$ . Integramos por partes, con

u = 2t

(

du = 2\,dt

) y

dv = \cos t\,dt

(

v = \operatorname{sen} t

\int 2t\cos t\,dt = 2t\operatorname{sen} t - \int 2\operatorname{sen} t\,dt = 2t\operatorname{sen} t + 2\cos t

Evaluando entre

0

\pi

F(\pi) = \Bigl[2t\operatorname{sen} t + 2\cos t\Bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(2\pi\cdot 0 + 2\cdot(-1)\bigr) - \bigl(0 + 2\cdot 1\bigr) = -2 - 2 = -4

Pendiente. Sin integrar nada, por el teorema fundamental:

F'(\pi) = 2\pi\cos(\pi) = -2\pi

Recta tangente.

y - (-4) = -2\pi\,(x - \pi) \;\Longrightarrow\; y = -2\pi x + 2\pi^{2} - 4

Numéricamente,

y \approx -6{,}28\,x + 15{,}74

.

(Coherencia: $x = \pi$ está en el tramo decreciente, y en efecto la pendiente $-2\pi$ es negativa.)

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Consejo

Para el apartado a) no calcules la integral: la derivada de $F$ te la da el teorema fundamental directamente. Integrar por partes ahí es trabajo perdido, y el estudio del signo sería mucho más complicado con la primitiva completa que con $2x\cos x$ .

En b) sí hace falta $F(\pi)$ , y ese es el único momento en que hay que integrar. No confundas los dos papeles: $F(\pi)$ se calcula integrando (es la ordenada del punto), pero $F'(\pi)$ se lee del integrando (es la pendiente). Mezclarlos es el error clásico.