Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x-1} & \text{si } x<0 \\[3mm] x^{2}-3x-1 & \text{si } x\geq0\end{cases}

a) [0,75 puntos] Estudia su continuidad y derivabilidad.

b) [1,25 puntos] Determina sus asíntotas y sus extremos relativos.

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{x-1} = -1 = f(0) \;\Longrightarrow\; \text{continua en } \mathbb{R}\;}

\boxed{\;f'(0^{-}) = -1 \neq -3 = f'(0^{+}) \;\Longrightarrow\; \text{derivable en } \mathbb{R}\setminus\{0\}\;}

\boxed{\;\text{A. horizontal } y = 0 \text{ en } -\infty; \ \text{sin asíntotas verticales}\;}

\boxed{\;\text{Mínimo relativo } \left(\tfrac32,\; -\tfrac{13}{4}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dentro de cada tramo la función es elemental. El único punto delicado es el empalme $x=0$ .

Detalle importante: el denominador

x-1

se anula en

x=1

, pero ese valor no pertenece al primer tramo (que solo vive en

x<0

). Por tanto no hay asíntota vertical.

En cambio, cuando

x\to-\infty

\frac{1}{x-1}\to0

: aparece una asíntota horizontal solo por la izquierda.

Desarrollo

a) Continuidad y derivabilidad.

Continuidad en $x = 0$ .

\lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{x-1} = \frac{1}{-1} = -1 \qquad f(0) = 0-0-1 = -1

\textbf{Continua en } x = 0 \ \text{, y por tanto en todo } \mathbb{R}

(En $x<0$ el denominador nunca se anula, y en $x\geq0$ es un polinomio.)

Derivabilidad en $x = 0$ .

f'(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{(x-1)^{2}} & \text{si } x<0 \\[2mm] 2x-3 & \text{si } x>0\end{cases}

f'(0^{-}) = -\frac{1}{(-1)^{2}} = -1 \qquad f'(0^{+}) = -3

-1 \neq -3 \;\Longrightarrow\; \textbf{No derivable en } x = 0 \quad \text{(punto anguloso)}

\textbf{Derivable en } \mathbb{R}\setminus\{0\}

b) Asíntotas.

Verticales: el único candidato sería

x=1

, pero ahí la función vale

x^{2}-3x-1

(un polinomio), no la fracción. No hay asíntotas verticales.

Horizontales:

\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x-1} = 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{Asíntota horizontal } y = 0 \ \text{(solo por la izquierda)}

\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}-3x-1\bigr) = +\infty \;\Longrightarrow\; \text{no hay por la derecha}

Oblicuas: por la derecha el grado es

2

, así que no hay.

Extremos relativos.

En $x<0$ :

\;f'(x) = -\dfrac{1}{(x-1)^{2}} < 0

siempre: decreciente, sin puntos críticos.

En $x>0$ :

\;f'(x) = 2x-3 = 0 \Longrightarrow x = \dfrac32

.

Es una parábola de ramas hacia arriba, luego se trata de un mínimo:

f\!\left(\frac32\right) = \frac94-\frac92-1 = \frac{9-18-4}{4} = -\frac{13}{4}

En $x = 0$ : las derivadas laterales son ambas negativas (

-1

-3

), así que la función solo decrece: no hay extremo, solo un pico.

\textbf{Mínimo relativo en } \left(\frac32,\; -\frac{13}{4}\right)

c) El esbozo. Rama izquierda decreciente que se acerca a

y=0

por debajo; en

(0,-1)

un pico anguloso; después la parábola

x^{2}-3x-1

, con mínimo en

\left(\frac32,-\frac{13}{4}\right)

y creciendo hacia

+\infty

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de dar una asíntota vertical, comprueba que el punto está en el tramo donde vive esa expresión. Aquí $x=1$ anula el denominador, pero allí la función es un polinomio.

Cada tramo tiene su propio "infinito": la asíntota horizontal $y=0$ solo existe cuando $x\to-\infty$ , porque la fracción solo se usa para $x<0$ .

Que $f'$ no exista en $x=0$ no significa que haya un extremo. Aquí las dos derivadas laterales son negativas: la función decrece a ambos lados y solo hay un pico.