Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2009 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Dos gráficas corresponden a la función

f\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \frac{2}{x}+2\ln(x)

y a la de su derivada

f'\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R}

(

\ln

denota logaritmo neperiano).

a) [0,5 puntos] Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de

f

y cuál la de

f'

.

b) [2 puntos] Calcula el área de la región comprendida entre ambas curvas para

\;1\leq x\leq3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = -\frac{2}{x^{2}}+\frac2x = \frac{2\,(x-1)}{x^{2}}\;}

\boxed{\;f\to+\infty \text{ y } f'\to0 \text{ en } +\infty \;\Longrightarrow\; \text{la que crece es } f, \ \text{la que se aplana es } f'\;}

\boxed{\;f-f' = 2\ln x+\frac{2}{x^{2}} \quad (\text{el } \tfrac2x \text{ se cancela})\;}

\boxed{\;A = \left[2x\ln x-2x-\frac2x\right]_{1}^{3} = 6\ln3-\frac83 \approx 3{,}93\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Se calcula $f'$ y se comparan comportamientos: valores concretos, límites en el infinito y ceros. En particular, $f'\to0$ cuando $x\to+\infty$ , mientras que $f\to+\infty$ : la curva que se aplana sobre el eje es la de la derivada.
b) Al restar $f-f'$ se cancela el término $\frac2x$ , y queda una integral cómoda:

f(x)-f'(x) = 2\ln x+\frac{2}{x^{2}}

Desarrollo

La derivada.

f(x) = \frac2x+2\ln x = 2x^{-1}+2\ln x

f'(x) = -\frac{2}{x^{2}}+\frac2x = \frac{-2+2x}{x^{2}} = \frac{2\,(x-1)}{x^{2}}

a) ¿Cuál es cuál?

Comportamiento en $+\infty$ :

\lim_{x\to+\infty}f(x) = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac2x+2\ln x\right) = +\infty

\lim_{x\to+\infty}f'(x) = \lim_{x\to+\infty}\frac{2(x-1)}{x^{2}} = 0

La curva que crece sin límite es

f

; la que se acerca al eje $X$ (asíntota horizontal

y=0

) es

f'

.

Valores concretos en $x = 3$ :

f(3) = \frac23+2\ln3 \approx 2{,}86 \qquad f'(3) = \frac{2\cdot2}{9} = \frac49 \approx 0{,}44

\textbf{La curva que crece sin límite (la de arriba) es } f; \textbf{ la que se aplana sobre el eje } X \textbf{ es } f'

(Otra pista: $f'$ se anula en $x=1$ , que es justo donde $f$ tiene su mínimo, $f(1) = 2$ .)

b) El área entre ambas. Restamos:

f(x)-f'(x) = \left(\frac2x+2\ln x\right)-\left(\frac2x-\frac{2}{x^{2}}\right) = 2\ln x+\frac{2}{x^{2}}

El $\frac2x$ se cancela. Y en

[1,3]

esta diferencia es positiva (

\ln x\geq0

para

x\geq1

\frac{2}{x^{2}}>0

): las curvas no se cortan y

f

va siempre por encima. Ahora integramos:

\int 2\ln x\,dx = 2\,(x\ln x-x) \qquad \int\frac{2}{x^{2}}dx = -\frac2x

A = \left[2x\ln x-2x-\frac2x\right]_{1}^{3}

En $x = 3$ :

\;6\ln3-6-\dfrac23

En $x = 1$ :

\;0-2-2 = -4

A = \left(6\ln3-6-\frac23\right)-(-4) = 6\ln3-\frac23-2 = 6\ln3-\frac83

A = 6\ln3-\frac83 \approx 6{,}592-2{,}667 = 3{,}93 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para distinguir $f$ de $f'$ en un dibujo, compara comportamientos globales: dónde se anula una y dónde tiene extremos la otra, y qué pasa en el infinito.

La cancelación del término $\frac2x$ al restar $f-f'$ es lo que hace viable el apartado b). Simplifica antes de integrar: es siempre lo primero.

$\int\ln x\,dx = x\ln x-x$ conviene tenerlo memorizado. Y ojo al evaluar en $x=1$ : $\ln1 = 0$ , así que solo quedan los términos $-2x$ y $-\frac2x$ .