Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula:

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = x, \ dv = \cos x\,dx \;\Longrightarrow\; du = dx, \ v = \operatorname{sen} x\;}

\boxed{\;\int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen} x-\int\operatorname{sen} x\,dx = x\operatorname{sen} x+\cos x\;}

\boxed{\;\Bigl[x\operatorname{sen} x+\cos x\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \left(\tfrac{\pi}{2}+0\right)-\left(0+1\right)\;}

\boxed{\;\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,dx = \frac{\pi}{2}-1 \approx 0{,}571\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Producto de un polinomio por una función trigonométrica: integración por partes, con el polinomio en

u

(al derivarlo baja de grado y desaparece).

u = x \;\Rightarrow\; du = dx \qquad dv = \cos x\,dx \;\Rightarrow\; v = \operatorname{sen} x

\int u\,dv = u\,v-\int v\,du

(La elección contraria, $u = \cos x$ , complicaría la integral en vez de simplificarla.)

Desarrollo

Por partes.

\int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen} x-\int \operatorname{sen} x\,dx

= x\operatorname{sen} x-\bigl(-\cos x\bigr) = x\operatorname{sen} x+\cos x

Comprobación (derivando la primitiva):

\bigl(x\operatorname{sen} x+\cos x\bigr)' = \operatorname{sen} x+x\cos x-\operatorname{sen} x = x\cos x \;\checkmark

Regla de Barrow.

\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,dx = \Bigl[x\operatorname{sen} x+\cos x\Bigr]_{0}^{\pi/2}

En el extremo superior (

\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1

\cos\frac{\pi}{2} = 0

\frac{\pi}{2}\cdot1+0 = \frac{\pi}{2}

En el extremo inferior (

\operatorname{sen}0 = 0

\cos0 = 1

0\cdot0+1 = 1

Restando:

\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,dx = \frac{\pi}{2}-1 \approx 0{,}571

(El resultado es positivo, como debe ser: en $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ el integrando $x\cos x$ es positivo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Regla práctica para elegir $u$ en las integrales por partes: polinomio por trigonométrica o por exponencial $\Rightarrow$ el polinomio va en $u$ . Con logaritmos, al revés: el logaritmo va en $u$ .

Cuidado con el signo de $\int\operatorname{sen} x\,dx = -\cos x$ : al restarlo se convierte en $+\cos x$ . Es el error más habitual de esta integral.

Comprueba derivando la primitiva antes de aplicar Barrow. Son diez segundos y descarta cualquier error de signo.