Derivadas y aplicaciones

Derivadas. Aplicando la regla del producto y sacando factor común $e^{x}$:$$f'(x) = e^{x} + (x-1)e^{x} = x\,e^{x}$$$$f''(x) = e^{x} + x\,e^{x} = (x+1)\,e^{x}$$a) Punto de inflexión. Como $e^{x} > 0$ siempre,$$f''(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x + 1 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = -1$$Y hay cambio de curvatura: $f'' < 0$ para $x < -1$ (cóncava hacia abajo) y $f'' > 0$ para $x > -1$ (cóncava hacia arriba). Luego $x=-1$ es punto de inflexión. Su ordenada:$$f(-1) = (-1-1)e^{-1} = -\frac{2}{e}$$La pendiente de la tangente ahí:$$f'(-1) = (-1)\,e^{-1} = -\frac{1}{e}$$Recta tangente por el punto $\left(-1,\ -\frac{2}{e}\right)$ con pendiente $-\frac{1}{e}$:$$y + \frac{2}{e} = -\frac{1}{e}\,(x + 1) \;\Longrightarrow\; y = -\frac{1}{e}x - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \;\Longrightarrow\; y = -\frac{x + 3}{e}$$Recta normal: misma recta, pendiente $-\dfrac{1}{f'(-1)} = e$:$$y + \frac{2}{e} = e\,(x + 1) \;\Longrightarrow\; y = e\,x + e - \frac{2}{e}$$b) Asíntotas.

Verticales: $f$ es producto de dos funciones continuas en todo $\mathbb{R}$, luego es continua en $\mathbb{R}$ y no hay asíntotas verticales.

Horizontales: hay que mirar los dos extremos por separado.$$\lim_{x \to +\infty} (x-1)e^{x} = +\infty \quad (\text{no hay asíntota horizontal por la derecha})$$$$\lim_{x \to -\infty} (x-1)e^{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{e^{-x}} \overset{\frac{-\infty}{+\infty}}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-e^{-x}} = 0^{-}$$Por tanto $y = 0$ es asíntota horizontal cuando $x \to -\infty$, y la curva se le acerca por debajo (los valores son negativos).

Oblicuas: solo pueden existir donde no hay horizontal, es decir en $+\infty$:$$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x-1)e^{x}}{x} = +\infty$$Al no ser finita la pendiente, no hay asíntota oblicua.