Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2015 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{0}^{\pi} x^{2}\,\mathrm{sen}\,(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = x^{2},\ dv = \mathrm{sen}\,x\,dx: \quad \int x^{2}\mathrm{sen}\,x\,dx = -x^{2}\cos x+2\int x\cos x\,dx\;}

\boxed{\;u = x,\ dv = \cos x\,dx: \quad \int x\cos x\,dx = x\,\mathrm{sen}\,x+\cos x\;}

\boxed{\;\left[-x^{2}\cos x+2x\,\mathrm{sen}\,x+2\cos x\right]_{0}^{\pi} = \bigl(\pi^{2}-2\bigr)-2 = \pi^{2}-4\;}

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Estrategia

Integración por partes, y hay que aplicarla dos veces: cada paso baja en uno el grado del polinomio.

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

La regla práctica (ALPES / ILATE): el polinomio va siempre en

u

, la función trigonométrica en

dv

. Así el polinomio se deriva y desaparece.

Al final, sustituir con la regla de Barrow entre

0

\pi

, donde

\mathrm{sen}\,0 = \mathrm{sen}\,\pi = 0

\cos 0 = 1

\cos\pi = -1

Desarrollo

Primera integración por partes.

u = x^{2} \;\Rightarrow\; du = 2x\,dx \qquad dv = \mathrm{sen}(x)\,dx \;\Rightarrow\; v = -\cos x

\int x^{2}\,\mathrm{sen}\,x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\int x\cos x\,dx

Segunda integración por partes (para

\int x\cos x\,dx

u = x \;\Rightarrow\; du = dx \qquad dv = \cos x\,dx \;\Rightarrow\; v = \mathrm{sen}\,x

\int x\cos x\,dx = x\,\mathrm{sen}\,x - \int \mathrm{sen}\,x\,dx = x\,\mathrm{sen}\,x+\cos x

La primitiva completa.

\int x^{2}\,\mathrm{sen}\,x\,dx = -x^{2}\cos x + 2x\,\mathrm{sen}\,x + 2\cos x + C

Regla de Barrow. En

x = \pi

(

\mathrm{sen}\,\pi = 0

\cos\pi = -1

-\pi^{2}(-1)+2\pi\cdot 0+2(-1) = \pi^{2}-2

x = 0

(

\mathrm{sen}\,0 = 0

\cos 0 = 1

-0+0+2 = 2

El resultado.

\int_{0}^{\pi} x^{2}\,\mathrm{sen}\,x\,dx = \bigl(\pi^{2}-2\bigr)-2 = \pi^{2}-4 \approx 5{,}87

Comprobación (derivando la primitiva).

\frac{d}{dx}\Bigl[-x^{2}\cos x+2x\,\mathrm{sen}\,x+2\cos x\Bigr] = -2x\cos x+x^{2}\mathrm{sen}\,x+2\,\mathrm{sen}\,x+2x\cos x-2\,\mathrm{sen}\,x = x^{2}\,\mathrm{sen}\,x \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con un polinomio por una trigonométrica, el polinomio va en $u$ : al derivarlo baja de grado y en dos pasos desaparece. Si lo pones en $dv$ el grado sube y no acabas nunca.

Cuidado con el signo de $v$ : si $dv = \mathrm{sen}\,x\,dx$ , entonces $v = -\cos x$ . Ese menos arrastrado es el error más frecuente de todo el ejercicio.

Deja la sustitución de los límites para el final, con la primitiva completa. Y recuerda que $\cos\pi = -1$ : el término $-\pi^{2}\cos\pi$ es $+\pi^{2}$ , no $-\pi^{2}$ .