Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2023 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Considera la función

f(x) = \dfrac{x^{2} + a}{x - b}

, para

x \neq b

.

a) [1,5 puntos] Calcula

a

b

para que la gráfica de

f

pase por el punto

(1, -2)

y tenga a la recta

y = x + 4

como asíntota oblicua.

b) [1 punto] En el caso

a = 5

b = 4

, calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

que pasa por el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = 5, \qquad b = 4\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad y = \frac{16}{5}x - \frac{5}{4}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay dos condiciones y dos incógnitas. La del punto es inmediata. La de la asíntota se resuelve con una división de polinomios: al dividir

x^{2}+a

entre

x-b

el cociente es la asíntota oblicua, y ahí aparece

b

de forma directa. Es mucho más rápido que calcular los límites

m = \lim f(x)/x

n = \lim (f(x) - mx)

.

En b) solo hay que derivar (regla del cociente) y aplicar que la pendiente de la normal es la opuesta de la inversa de la de la tangente.

Desarrollo

a) Condición del punto $(1,-2)$ .

f(1) = \frac{1 + a}{1 - b} = -2 \;\Longrightarrow\; 1 + a = -2\,(1 - b)

Condición de la asíntota oblicua. Dividiendo

x^{2} + a

entre

x - b

\frac{x^{2} + a}{x - b} = x + b + \frac{b^{2} + a}{x - b}

Cuando

x \to \pm\infty

el resto tiende a

0

, así que la asíntota oblicua es

y = x + b

Comparando con

y = x + 4

b = 4

Valor de $a$ . Sustituyendo

b = 4

en la primera condición:

1 + a = -2\,(1 - 4) = -2\cdot(-3) = 6 \;\Longrightarrow\; a = 5

(Comprobación: con $a=5$ y $b=4$ , $f(1) = \dfrac{1+5}{1-4} = \dfrac{6}{-3} = -2$ . Correcto. Además $b^{2}+a = 21 \neq 0$ , luego la fracción no se simplifica y la asíntota oblicua existe de verdad.)

b) Caso $a = 5$ , $b = 4$ .

f(x) = \frac{x^{2} + 5}{x - 4}

Punto de la gráfica.

f(0) = \frac{0 + 5}{0 - 4} = -\frac{5}{4}

Derivada (regla del cociente):

f'(x) = \frac{2x\,(x-4) - \bigl(x^{2}+5\bigr)\cdot 1}{(x-4)^{2}} = \frac{2x^{2} - 8x - x^{2} - 5}{(x-4)^{2}} = \frac{x^{2} - 8x - 5}{(x-4)^{2}}

f'(0) = \frac{0 - 0 - 5}{16} = -\frac{5}{16}

Pendiente de la normal.

m_{N} = -\frac{1}{f'(0)} = -\frac{1}{-5/16} = \frac{16}{5}

Ecuación de la normal.

y - \left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{16}{5}\,(x - 0) \;\Longrightarrow\; y = \frac{16}{5}x - \frac{5}{4}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para la asíntota oblicua de una función racional con grado del numerador uno más que el del denominador, divide los polinomios: el cociente es la asíntota. La alternativa (calcular $m$ y $n$ con dos límites) es correcta pero mucho más lenta, y en un ejercicio con parámetros la división te deja $b$ despejado de un vistazo.

En b), el punto de la normal es $\left(0, -\frac{5}{4}\right)$ , no $(0,0)$ . La abscisa es $0$ , pero la ordenada hay que calcularla. Y la pendiente es $-1/f'(0)$ , con los dos signos: aquí $f'(0)$ ya es negativa, así que la normal sale con pendiente positiva.