Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2025 · Julio

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque con optatividad 1). Calcula el valor de

k

para que

\int_{1}^{3} e^{\,x-k}\,(x-2)\,dx = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;k = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El parámetro

k

está dentro de la exponencial, pero solo como una constante multiplicativa:

e^{x-k} = e^{-k}\,e^{x}

. Sacándolo fuera de la integral, lo que queda es una integral numérica corriente, y la ecuación en

k

se vuelve elemental.

Esa integral,

\int e^{x}(x-2)\,dx

, es el caso clásico de integración por partes: polinomio por exponencial, con

u

= polinomio (así al derivar baja de grado y desaparece).

Desarrollo

Paso 1: sacar el parámetro fuera. Como

e^{\,x-k} = e^{-k}\cdot e^{x}

e^{-k}

es una constante,

\int_{1}^{3} e^{\,x-k}(x-2)\,dx = e^{-k}\int_{1}^{3} e^{x}(x-2)\,dx

Paso 2: la integral por partes. Tomamos

u = x - 2 \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = e^{x}dx \;\Rightarrow\; v = e^{x}

\int e^{x}(x-2)\,dx = (x-2)e^{x} - \int e^{x}\,dx = (x-2)e^{x} - e^{x} = (x-3)\,e^{x}

Paso 3: la regla de Barrow.

\int_{1}^{3} e^{x}(x-2)\,dx = \Bigl[(x-3)e^{x}\Bigr]_{1}^{3} = (3-3)e^{3} - (1-3)e^{1} = 0 + 2e = 2e

Paso 4: despejar $k$ .

e^{-k}\cdot 2e = 2 \;\Longrightarrow\; 2\,e^{\,1-k} = 2 \;\Longrightarrow\; e^{\,1-k} = 1

Tomando logaritmos neperianos:

1 - k = 0 \;\Longrightarrow\; k = 1

Comprobación. Con

k=1

el integrando es

e^{\,x-1}(x-2)

\int_{1}^{3} e^{\,x-1}(x-2)\,dx = e^{-1}\cdot 2e = 2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El fallo más caro aquí es dejar la $k$ dentro y ponerse a integrar por partes con $e^{x-k}$ : se puede, pero se enreda. Separa la exponencial primero ( $e^{x-k} = e^{-k}e^{x}$ ) y el ejercicio se parte en dos trozos fáciles.

En la integración por partes, elige $u$ = polinomio. Si eliges $u = e^{x}$ el grado del polinomio sube en cada vuelta y no acabas nunca.