Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2008 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Dada la función

f

definida, para

x\neq0

, por

f(x) = \frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}

determina las asíntotas de su gráfica.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;e^{x}-1 = 0 \iff x = 0, \ \text{y el numerador vale } 2 \neq 0\;}

\boxed{\;\lim_{x\to0^{+}}f = +\infty, \quad \lim_{x\to0^{-}}f = -\infty \;\Longrightarrow\; \textbf{A. vertical } x = 0\;}

\boxed{\;\lim_{x\to+\infty}\frac{1+e^{-x}}{1-e^{-x}} = 1 \;\Longrightarrow\; \textbf{A. horizontal } y = 1\;}

\boxed{\;\lim_{x\to-\infty}\frac{0+1}{0-1} = -1 \;\Longrightarrow\; \textbf{A. horizontal } y = -1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo interesante de esta función es que tiene dos asíntotas horizontales distintas, una en cada infinito. La razón:

e^{x}

se comporta de forma opuesta en

+\infty

y en

-\infty

En $+\infty$ , $e^{x}$ domina: se divide numerador y denominador entre $e^{x}$ .
En $-\infty$ , $e^{x}\to0$ y la fracción tiende a $\dfrac{0+1}{0-1} = -1$ .

Y en

x=0

el denominador se anula: asíntota vertical.

Desarrollo

Asíntota vertical: $x = 0$ .

El denominador

e^{x}-1

se anula solo en

x = 0

, y el numerador vale

e^{0}+1 = 2 \neq 0

\lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1} = \frac{2}{0^{+}} = +\infty

\lim_{x\to0^{-}}\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1} = \frac{2}{0^{-}} = -\infty

(Para $x>0$ es $e^{x}>1$ , luego $e^{x}-1>0$ ; para $x<0$ , negativo.)

\textbf{Asíntota vertical: } x = 0

Asíntota horizontal en $+\infty$ . Dividiendo numerador y denominador entre

e^{x}

\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1+e^{-x}}{1-e^{-x}} = \frac{1+0}{1-0} = 1

\textbf{Asíntota horizontal } y = 1 \ \text{ en } +\infty

Asíntota horizontal en $-\infty$ . Aquí

e^{x}\to0

directamente:

\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1} = \frac{0+1}{0-1} = -1

\textbf{Asíntota horizontal } y = -1 \ \text{ en } -\infty

Asíntotas oblicuas: no hay, porque en ambos extremos existe asíntota horizontal.

(Posición: para $x>0$ , $f(x)>1$ (la curva va por encima de $y=1$ ); para $x<0$ , $f(x)<-1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con exponenciales, los dos infinitos son muy distintos: en $+\infty$ conviene dividir entre $e^{x}$ ; en $-\infty$ basta sustituir $e^{x}\to0$ . Calcula siempre los dos límites.

Puede haber dos asíntotas horizontales diferentes, una en cada extremo. No es un caso raro en funciones con $e^{x}$ : aquí son $y=1$ e $y=-1$ .

Si hay asíntota horizontal en un extremo, no puede haber oblicua en ese mismo extremo. Basta decirlo; no hay que calcular ningún límite más.