Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2010 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea

f\colon(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \ln(x+2)

Halla una primitiva

F

f

que verifique

\;F(0) = 0

. (

\ln

denota el logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = \ln(x+2), \ dv = dx \;\Longrightarrow\; du = \frac{dx}{x+2}, \ v = x+2\;}

\boxed{\;\int\ln(x+2)\,dx = (x+2)\ln(x+2)-\int dx = (x+2)\ln(x+2)-x+C\;}

\boxed{\;F(0) = 2\ln2+C = 0 \;\Longrightarrow\; C = -2\ln2\;}

\boxed{\;F(x) = (x+2)\ln(x+2)-x-2\ln2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral de un logaritmo

\Rightarrow

por partes, con el logaritmo en

u

u = \ln(x+2) \;\Rightarrow\; du = \frac{dx}{x+2} \qquad dv = dx

Truco útil: tomar

v = x+2

(también es primitiva de

dx

, porque la constante es libre). Así la fracción se cancela por completo.

Después se fija la constante con

F(0) = 0

Desarrollo

Por partes. Con

u = \ln(x+2)

\;dv = dx

\;v = x+2

\int\ln(x+2)\,dx = (x+2)\ln(x+2)-\int (x+2)\cdot\frac{1}{x+2}\,dx

= (x+2)\ln(x+2)-\int dx = (x+2)\ln(x+2)-x+C

(Si se toma $v = x$ , sale $x\ln(x+2)-\int\frac{x}{x+2}dx$ , que obliga a dividir. El resultado es el mismo, pero con más pasos.)

La condición $F(0) = 0$ .

F(0) = 2\ln2-0+C = 0 \;\Longrightarrow\; C = -2\ln2

F(x) = (x+2)\ln(x+2)-x-2\ln2

Comprobaciones.

F(0) = 2\ln2-0-2\ln2 = 0 \;\checkmark

Derivando:

F'(x) = \ln(x+2)+(x+2)\cdot\frac{1}{x+2}-1 = \ln(x+2)+1-1 = \ln(x+2) = f(x) \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$v$ es cualquier primitiva de $dv$ : elegir $v = x+2$ en vez de $v = x$ hace que la fracción $\frac{x+2}{x+2}$ se simplifique a $1$ y ahorra una división de polinomios.

"Halla una primitiva que verifique..." obliga a fijar la constante. Dejar el $+C$ es dejar el ejercicio a medias.

Comprueba derivando: es la verificación más rápida de cualquier integral y aquí se ve enseguida que el $+1$ y el $-1$ se cancelan.