Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = e^{x}\,(x-2)

.

a) [1 punto] Calcula las asíntotas de

f

.

b) [1 punto] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.

c) [0,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \lim_{x\to-\infty}f = 0 \Rightarrow \text{A.H. } y = 0; \quad \lim_{x\to+\infty}f = +\infty \ (\text{rama parabólica})\;}

\boxed{\;f'(x) = e^{x}(x-1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1\;}

\boxed{\;\text{Decrece en } (-\infty,1), \ \text{crece en } (1,\infty); \quad \text{mínimo } (1,-e)\;}

\boxed{\;\text{c) } f''(x) = e^{x}\,x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0: \quad \text{inflexión en } (0,-2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El dominio es todo

\mathbb{R}

: no hay asíntotas verticales. Solo hay que estudiar

\pm\infty

, y ahí los comportamientos son opuestos: en

-\infty

la exponencial aplasta al polinomio y en

+\infty

el producto se dispara.

Al derivar

e^{x}P(x)

se obtiene

e^{x}\bigl(P+P'\bigr)

: el

e^{x}

sale factor común y nunca se anula, así que todo se reduce a las raíces de polinomios de primer grado.

Desarrollo

a) Asíntotas. No hay verticales (

f

es continua en

\mathbb{R}

).

En $-\infty$ : indeterminación

\infty\cdot0

, que se resuelve como cociente:

\lim_{x\to-\infty}\frac{x-2}{e^{-x}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-e^{-x}} = 0

\textbf{Asíntota horizontal } y = 0 \text{ cuando } x\to-\infty

En $+\infty$ :

\lim_{x\to+\infty}e^{x}(x-2) = +\infty \qquad m = \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}(x-2)}{x} = +\infty

\textbf{No hay asíntota (rama parabólica) en } +\infty

b) La derivada.

f'(x) = e^{x}(x-2)+e^{x} = e^{x}\,(x-1)

Como

e^{x}>0

, el signo es el de

x-1

x<1: \; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece} \qquad x>1: \; f'>0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

\text{Decrece en } (-\infty,\,1) \qquad \text{Crece en } (1,\,+\infty)

El extremo. Pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo (y absoluto).

f(1) = e\,(1-2) = -e \approx -2{,}72

\textbf{Mínimo en } \bigl(1,\; -e\bigr)

c) La segunda derivada.

f''(x) = e^{x}(x-1)+e^{x} = e^{x}\,x

f''(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0

f''

cambia de signo en

x=0

(negativa antes, positiva después), luego hay inflexión de verdad:

f(0) = e^{0}\,(0-2) = -2

\textbf{Punto de inflexión: } (0,\, -2)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al derivar $e^{x}P(x)$ el resultado es $e^{x}\bigl(P+P'\bigr)$ : el $e^{x}$ nunca se anula, así que los puntos críticos y de inflexión son las raíces del polinomio. Sacarlo factor común simplifica los tres apartados.

Estudia los dos infinitos por separado: solo hay asíntota horizontal en $-\infty$ . En $+\infty$ no hay ni horizontal ni oblicua, porque $\lim\frac{f(x)}{x} = \infty$ .

Para afirmar que hay punto de inflexión no basta con $f''=0$ : hay que comprobar que cambia de signo. Aquí $f'' = e^{x}x$ lo hace claramente en $x=0$ .