Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2020 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 5. Una familia desea acotar una zona rectangular en el jardín de su casa para dedicarla al cultivo ecológico. Para ello dispone de

96

metros de valla, pero necesita dejar una abertura de

4

metros en uno de los laterales para instalar una puerta. Determina las dimensiones de la zona rectangular de área máxima que puede acotarse de esta manera y el valor de dicha área.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;2x + 2y - 4 = 96 \;\Longrightarrow\; x + y = 50; \qquad A(x) = x\,(50 - x)\;}

\boxed{\;\text{Cuadrado de } 25 \times 25 \ \text{m}, \qquad A_{\max} = 625 \ \text{m}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Optimización con ligadura. Lo único delicado es traducir bien la condición de la valla: los

96

metros no son el perímetro, sino el perímetro menos la abertura de la puerta, porque esos

4

metros no llevan valla.

\text{perímetro} - 4 = 96 \;\Longrightarrow\; \text{perímetro} = 100

A partir de ahí es el problema clásico "rectángulo de perímetro fijo y área máxima", cuya respuesta es siempre el cuadrado. Aun así hay que demostrarlo con la derivada.

Desarrollo

Planteamiento. Sean

x

y

los lados del rectángulo, en metros.

Ligadura. La valla cubre todo el perímetro salvo los

4

metros de la puerta:

2x + 2y - 4 = 96 \;\Longrightarrow\; 2x + 2y = 100 \;\Longrightarrow\; x + y = 50

Función a maximizar.

A = x\,y = x\,(50 - x), \qquad 0 < x < 50

Derivada.

A'(x) = 50 - 2x

A'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 25

Comprobación de que es máximo.

A''(x) = -2 < 0 \;\Longrightarrow\; \text{máximo}

(y al ser

A

una parábola invertida, el máximo es absoluto).

Dimensiones.

x = 25 \ \text{m}, \qquad y = 50 - 25 = 25 \ \text{m}

El rectángulo de área máxima es un cuadrado de $25$ metros de lado.

Área máxima.

A = 25 \cdot 25 = 625 \ \text{m}^{2}

Comprobación de la valla. El perímetro es

4\cdot 25 = 100

m, y descontando los

4

m de la puerta quedan

96

m de valla, exactamente los disponibles

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La abertura de la puerta suma al perímetro: si hay $96$ m de valla y $4$ m sin vallar, el perímetro total es $100$ , no $96$ . Es el único punto donde se puede torcer el ejercicio, y da un cuadrado de $24$ m y área $576$ en lugar de la respuesta correcta.

Aunque intuyas que la solución es el cuadrado, plantea y deriva: los criterios de corrección reparten los puntos por escribir la función de una variable y por hallar y clasificar el punto crítico, no por acertar el número.