Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Determina la función

f : (1, +\infty) \to \mathbb{R}

sabiendo que

f''(x) = \frac{1}{(x-1)^{2}}

y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 2

y = x + 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = -\frac{1}{x-1} + C_{1}; \qquad f'(2) = 1 \;\Longrightarrow\; C_{1} = 2\;}

\boxed{\;f(x) = 2x - \ln(x-1) + C_{2}; \qquad f(2) = 4 \;\Longrightarrow\; C_{2} = 0\;}

\boxed{\;f(x) = 2x - \ln(x-1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se conoce la segunda derivada, así que hay que integrar dos veces, y en cada integración aparece una constante. Para fijarlas hacen falta dos datos, y la recta tangente proporciona exactamente eso:

Pendiente: $f'(2) = 1$ (el coeficiente de $x$ en $y = x+2$ ).
Punto: $f(2) = 2 + 2 = 4$ (el valor de la recta en $x=2$ ).

El orden importa: primero se integra

f''

y se fija la constante con

f'(2)=1

; solo después se integra

f'

y se fija la segunda con

f(2)=4

Desarrollo

Primera integración.

f'(x) = \int (x-1)^{-2}\,dx = \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + C_{1} = -\frac{1}{x-1} + C_{1}

Primera constante. La pendiente de la tangente en

x=2

1

f'(2) = -\frac{1}{1} + C_{1} = -1 + C_{1} = 1 \;\Longrightarrow\; C_{1} = 2

f'(x) = 2 - \frac{1}{x-1}

Segunda integración. En el dominio

(1,+\infty)

se tiene

x-1 > 0

, así que el valor absoluto del logaritmo se puede quitar:

f(x) = \int\left(2 - \frac{1}{x-1}\right)dx = 2x - \ln(x-1) + C_{2}

Segunda constante. La recta tangente pasa por el punto de la gráfica de abscisa

2

, y ahí vale

y = 2+2 = 4

f(2) = 4 - \ln(1) + C_{2} = 4 - 0 + C_{2} = 4 \;\Longrightarrow\; C_{2} = 0

f(x) = 2x - \ln(x - 1)

Comprobación.

f'(x) = 2 - \frac{1}{x-1} \;\Longrightarrow\; f'(2) = 2 - 1 = 1 \quad \checkmark

f''(x) = \frac{1}{(x-1)^{2}} \quad \checkmark \qquad f(2) = 4 - \ln 1 = 4 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con $f''$ dada hay que integrar dos veces, y por tanto aparecen dos constantes. Los dos datos que las fijan salen de la misma recta tangente: la pendiente da $f'(2)$ y el punto da $f(2)$ . Si solo usas uno, el problema queda sin resolver.

Imponlas en orden: $C_{1}$ con la condición sobre $f'$ antes de integrar por segunda vez. Arrastrar $C_{1}$ como incógnita hasta el final complica innecesariamente la segunda integral.

$\int (x-1)^{-2}dx = -\dfrac{1}{x-1}$ , no un logaritmo: solo el exponente $-1$ da logaritmo. Ese logaritmo aparece después, al integrar $f'$ . Y aprovecha el dominio $(1,+\infty)$ para escribir $\ln(x-1)$ sin valor absoluto.