Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2024 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sea

f

la función definida por

f(x) = \frac{a x^{3} + b x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1}, \qquad\text{para } x \neq \pm 1

Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto

(0,1)

y es paralela a la recta

y = 2x

, calcula la asíntota oblicua y los valores de

a

b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Asíntota oblicua: } y = 2x + 1\;}

\boxed{\;a = 2, \qquad b = 1 \qquad\left(f(x) = 2x+1+\frac{3x}{x^{2}-1}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El ejercicio se resuelve en dos movimientos independientes:

Escribir la asíntota con los datos geométricos: paralela a $y=2x$ significa pendiente $2$ , y pasar por $(0,1)$ da la ordenada en el origen. Sale $y = 2x+1$ sin tocar la función.
Identificarla con el cociente de la división del numerador entre el denominador, que es lo que siempre es la asíntota oblicua de una función racional. Multiplicando $(x^{2}-1)(2x+1)$ y comparando coeficientes salen $a$ y $b$ .

No hace falta calcular ningún límite: basta la división y una comparación de coeficientes.

Desarrollo

Paso 1: la asíntota. Paralela a

y=2x

\Rightarrow

pendiente

m=2

. Pasa por

(0,1)

\Rightarrow

ordenada en el origen

n=1

y = 2x + 1

Paso 2: identificarla con el cociente. En una función racional en la que el grado del numerador es uno más que el del denominador, la asíntota oblicua es el cociente de la división. Así que debe cumplirse

a x^{3} + b x^{2} + x - 1 = \bigl(x^{2}-1\bigr)(2x+1) + \bigl(\text{resto de grado} \leq 1\bigr)

Desarrollamos el producto:

\bigl(x^{2}-1\bigr)(2x+1) = 2x^{3} + x^{2} - 2x - 1

Comparando los términos de grado $3$ y $2$ (que no pueden verse afectados por el resto, de grado

\leq 1

a = 2, \qquad b = 1

Comprobación. Con

a=2

b=1

, el numerador es

2x^{3}+x^{2}+x-1

, y

2x^{3}+x^{2}+x-1 - \bigl(2x^{3}+x^{2}-2x-1\bigr) = 3x

luego la división da

f(x) = 2x + 1 + \frac{3x}{x^{2}-1}

Y en efecto

\lim_{x\to\pm\infty} \bigl[f(x) - (2x+1)\bigr] = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{3x}{x^{2}-1} = 0

así que

y = 2x+1

es asíntota oblicua ✓. Además pasa por

(0,1)

y es paralela a

y=2x

, como pedía el enunciado.

(Nota: con estos valores la función también tiene asíntotas verticales en $x=1$ y $x=-1$ , porque el numerador $2x^{3}+x^{2}+x-1$ no se anula en ninguno de los dos: vale $3$ y $-3$ respectivamente.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Escribe la asíntota antes de tocar la función: "paralela a $y=2x$ " da la pendiente y "pasa por $(0,1)$ " da la ordenada. Es la parte más fácil del ejercicio y muchos la dejan para el final, cuando ya se han enredado con límites innecesarios.

Y recuerda que la asíntota oblicua de una racional es el cociente de la división. Con eso, comparar los coeficientes de $x^{3}$ y $x^{2}$ resuelve el problema en dos líneas, sin calcular $m = \lim\frac{f(x)}{x}$ ni $n = \lim\bigl(f(x)-mx\bigr)$ .