Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2019 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Dada la función

f : (0, 2\pi) \to \mathbb{R}

, definida por

f(x) = \operatorname{sen}(x) + \cos(x)

calcula sus máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la gráfica de

f

(abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \cos x - \operatorname{sen} x = 0 \Longleftrightarrow \tan x = 1 \Longrightarrow x = \tfrac{\pi}{4},\, \tfrac{5\pi}{4}\;}

\boxed{\;\text{Máximo } \left(\tfrac{\pi}{4},\, \sqrt2\right); \qquad \text{mínimo } \left(\tfrac{5\pi}{4},\, -\sqrt2\right)\;}

\boxed{\;f''(x) = -f(x) = 0 \Longleftrightarrow \tan x = -1: \quad \text{inflexiones } \left(\tfrac{3\pi}{4},0\right) \text{ y } \left(\tfrac{7\pi}{4},0\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Estudio completo de una función trigonométrica en un intervalo acotado. Lo único delicado es resolver las ecuaciones trigonométricas dentro de $(0,2\pi)$ , sin dejarse soluciones ni añadir de fuera del intervalo.

Las dos ecuaciones que salen son del mismo tipo:

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x = \operatorname{sen} x \;\Longleftrightarrow\; \tan x = 1

f''(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; -\operatorname{sen} x - \cos x = 0 \;\Longleftrightarrow\; \tan x = -1

y cada una tiene dos soluciones en

(0,2\pi)

: una en cada par de cuadrantes.

Desarrollo

Derivadas.

f'(x) = \cos x - \operatorname{sen} x

f''(x) = -\operatorname{sen} x - \cos x = -f(x)

(Curioso: la segunda derivada es la función cambiada de signo. Eso ahorra trabajo más adelante.)

Puntos críticos.

\cos x - \operatorname{sen} x = 0 \;\Longrightarrow\; \tan x = 1 \;\Longrightarrow\; x = \frac{\pi}{4} \quad \text{o} \quad x = \frac{5\pi}{4}

Clasificación con $f''$ .

f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\left(\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\right) = -\sqrt2 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo}

f''\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\left(-\frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\right) = \sqrt2 > 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

Valores.

f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41

f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2} = -\sqrt{2} \approx -1{,}41

\text{Máximo relativo } \left(\frac{\pi}{4},\, \sqrt2\right), \qquad \text{mínimo relativo } \left(\frac{5\pi}{4},\, -\sqrt2\right)

Puntos de inflexión. Como

f'' = -f

f''(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; f(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{sen} x = -\cos x \;\Longleftrightarrow\; \tan x = -1

x = \frac{3\pi}{4} \quad \text{o} \quad x = \frac{7\pi}{4}

En ambos hay cambio de signo de

f''

, luego son inflexiones. Se ve con la tercera derivada,

f'''(x) = -f'(x) = \operatorname{sen} x - \cos x

, que no se anula en ellos:

f'''\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sqrt2 \neq 0

f'''\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\sqrt2 \neq 0

. Y su ordenada es inmediata, precisamente porque

f'' = -f

f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 0, \qquad f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = 0

\text{Inflexiones } \left(\frac{3\pi}{4},\, 0\right) \quad \text{y} \quad \left(\frac{7\pi}{4},\, 0\right)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\tan x = 1$ tiene dos soluciones en $(0,2\pi)$ : $\frac{\pi}{4}$ (primer cuadrante) y $\frac{5\pi}{4}$ (tercero), porque la tangente tiene periodo $\pi$ , no $2\pi$ . Quedarse solo con la primera es el error más frecuente en este ejercicio.

Aprovecha que $f'' = -f$ : no solo simplifica la clasificación de los extremos, sino que convierte "resolver $f''=0$ " en "resolver $f=0$ ", y las ordenadas de las inflexiones salen gratis: valen $0$ .

Otra vía elegante: $\operatorname{sen} x + \cos x = \sqrt2\,\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ , una sinusoide de amplitud $\sqrt2$ . Con eso se ve de golpe que el máximo vale $\sqrt2$ , el mínimo $-\sqrt2$ y que las inflexiones están donde la función corta al eje.