Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2025 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque con optatividad 1). Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas

(2,0)

de un plano. Se sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función

f(x) = \sqrt{x+1}

. ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Debe nadar hacia } Q\left(\frac{3}{2},\ \frac{\sqrt{10}}{2}\right)\;}

\boxed{\;\text{Distancia mínima} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1{,}66 \ \text{unidades}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de optimización clásico: la función a minimizar es la distancia de un punto fijo a los puntos de una curva.

El punto genérico del recorrido del ferry es

\bigl(x,\ \sqrt{x+1}\bigr)

con

x \geq -1

, y su distancia a la isla es una raíz cuadrada. Derivar raíces es incómodo, así que se usa el truco de siempre: minimizar el cuadrado de la distancia. Como

t \mapsto t^{2}

es creciente para

t \geq 0

, el mínimo se alcanza en el mismo punto, y la función que queda aquí es una simple parábola.

Desarrollo

Función a minimizar. Un punto cualquiera de la trayectoria del ferry es

Q\bigl(x,\ \sqrt{x+1}\bigr)

, con

x \in [-1, +\infty)

(el dominio de

f

). Su distancia a la isla

P(2,0)

d(x) = \sqrt{(x-2)^{2} + \left(\sqrt{x+1} - 0\right)^{2}} = \sqrt{(x-2)^{2} + x + 1}

Minimizamos el cuadrado:

g(x) = d(x)^{2} = (x-2)^{2} + x + 1 = x^{2} - 4x + 4 + x + 1 = x^{2} - 3x + 5

Punto crítico.

g'(x) = 2x - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{3}{2}

que pertenece al dominio

[-1,+\infty)

.

Comprobación de que es mínimo.

g''(x) = 2 > 0 \quad\text{para todo } x

luego

g

es convexa y en

x = \frac{3}{2}

hay un mínimo absoluto (también se ve porque

g

es una parábola con las ramas hacia arriba y

\frac{3}{2}

es su vértice).

El punto y la distancia.

y = \sqrt{\frac{3}{2} + 1} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1{,}58

Q\left(\frac{3}{2},\ \frac{\sqrt{10}}{2}\right)

g\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 5 = \frac{9 - 18 + 20}{4} = \frac{11}{4} \;\Longrightarrow\; d = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1{,}66

Comprobación geométrica. En el punto óptimo el segmento

PQ

debe ser perpendicular a la curva. La pendiente de la tangente es

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}

, que en

x=\frac{3}{2}

vale

\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}

. Y la pendiente de

PQ

\frac{\frac{\sqrt{10}}{2} - 0}{\frac{3}{2} - 2} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{10}

El producto de las dos pendientes es

-1

: efectivamente son perpendiculares.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Minimiza el cuadrado de la distancia, no la distancia. Derivar $\sqrt{(x-2)^{2}+x+1}$ se puede, pero la raíz complica la ecuación $d'(x)=0$ sin necesidad: el mínimo está en el mismo sitio y las cuentas se reducen a una parábola.

Y responde a las dos preguntas: el punto $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2}\right)$ y la distancia $\frac{\sqrt{11}}{2}$ . Además, justifica que es mínimo (con $g''>0$ o con el signo de $g'$ ); en optimización, sin esa justificación no se da la puntuación completa.