Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2012 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Un alambre de longitud

2

metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultantes sea mínima.

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Resultado

\boxed{\;6h = x \Rightarrow h = \frac x6, \ A_{\text{rect}} = 2h^{2} = \frac{x^{2}}{18}; \qquad A_{\square} = \frac{(2-x)^{2}}{16}\;}

\boxed{\;S(x) = \frac{x^{2}}{18}+\frac{(2-x)^{2}}{16}; \qquad S'(x) = \frac x9-\frac{2-x}{8} = 0\;}

\boxed{\;17x = 18 \;\Longrightarrow\; x = \frac{18}{17} \ \text{m (rectángulo)}, \quad \frac{16}{17} \ \text{m (cuadrado)}\;}

\boxed{\;S''>0 \Rightarrow \text{mínimo}; \qquad S_{\min} = \frac{2}{17} \approx 0{,}12 \ \text{m}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada trozo es el perímetro de su figura, y hay que traducir la condición del rectángulo:

Rectángulo de altura $h$ y base $2h$ : perímetro $= 2\,(h+2h) = 6h$ , área $= 2h^{2}$ .
Cuadrado de lado $\ell$ : perímetro $= 4\ell$ , área $= \ell^{2}$ .

Si el primer trozo mide

x

, entonces

h = \dfrac{x}{6}

y el cuadrado tiene lado

\dfrac{2-x}{4}

.

La suma de áreas es una parábola con ramas hacia arriba: tiene mínimo y basta anular la derivada.

Desarrollo

Las dimensiones. Sea

x

la longitud del trozo del rectángulo,

\;0<x<2

h = \frac{x}{6}, \quad \text{base} = \frac{x}{3} \qquad \ell = \frac{2-x}{4}

Las áreas.

A_{\text{rect}} = 2h^{2} = 2\cdot\frac{x^{2}}{36} = \frac{x^{2}}{18} \qquad A_{\square} = \frac{(2-x)^{2}}{16}

La función a minimizar.

S(x) = \frac{x^{2}}{18}+\frac{(2-x)^{2}}{16}

Derivada y punto crítico.

S'(x) = \frac{x}{9}-\frac{2-x}{8} = 0

Multiplicando por

72

8x-9\,(2-x) = 0 \;\Longrightarrow\; 8x+9x = 18 \;\Longrightarrow\; 17x = 18

x = \frac{18}{17} \approx 1{,}06 \ \text{m}

Es mínimo.

S''(x) = \frac19+\frac18 = \frac{17}{72} > 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

Los dos trozos.

\textbf{Rectángulo: } \frac{18}{17} \approx 1{,}06 \ \text{m} \qquad \textbf{Cuadrado: } 2-\frac{18}{17} = \frac{16}{17} \approx 0{,}94 \ \text{m}

La suma mínima de áreas.

S\!\left(\frac{18}{17}\right) = \frac{2}{17} \approx 0{,}118 \ \text{m}^{2}

(Las dimensiones del rectángulo son $h = \frac{3}{17}$ m y base $\frac{6}{17}$ m; el lado del cuadrado, $\frac{4}{17}$ m.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El perímetro del rectángulo con base doble de la altura es $6h$ , no $4h$ ni $3h$ : hay dos bases ( $2h$ cada una) y dos alturas. Traducir mal esa relación arruina el problema.

Cada trozo es el perímetro, así que hay que dividir para obtener el lado: $h = \frac x6$ y $\ell = \frac{2-x}{4}$ .

El resultado es una fracción de denominador $17$ , y eso es normal: no todos los problemas de optimización dan números redondos. Da también el valor aproximado en metros.